Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Equação Polinomial e veja a resolução comentada. 
Sabendo que 12 é raiz de p(x) = x² – mx + 6, determine o valor de m.
Dados os polinômios p(x) = (a – 1)x² – (a – b)x + (2a – b + c) e q(x) = 4x² – 5x + 1, determine a, b e c para que tenhamos p(x) = q(x).
Fornecido o polinômio p(x) = 2x³ – 6x² + mx + n, se p(2) = 0 e p(–1) = –6, determine os valores de m e n.
(MACK–SP) Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 seja do 2º grau.
(FEI–SP) Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.
(PUC–SP) Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha
Temos que p(x) = x² – mx + 6, dessa forma vamos determinar p(12) = 0 no intuito de calcular o valor de m. p(12) = 12² – m * 12 + 6 p(12) = 144 – 12m + 6 144 – 12m + 6 = 0 –12m = – 150 m = 150/12 m = 25/2 O valor de m no polinômio quando p(12) = 0 é 25/2.
p(x) = q(x) a – 1 = 4 – (a – b) = –5 – (5 – b) = – 5 – 5 + b = –5 b = 5 – 5 b = 0 2a – b + c = 1 10 – 0 + c = 1 c = 1 – 10 c = – 9 Portanto, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes devem valer: a = 5, b = 0 e c = –9.
As condições para que o polinômio dado seja do 2º grau são as seguintes: m – 4 = 0 m² – 16 ≠ 0 m² ≠ 16 m ≠ 4 e m ≠ – 4 Para m = 4, temos: p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 p(x) = (4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4 p(x) = 0x³ + 0x² + 8x + 4 p(x) = 8x + 4 Grau 1 Para m = –4, temos: p(x) = (–4 – 4)x³ + ((–4)² – 16)x² + (–4 + 4)x + 4 p(x) = –8x³ + 0x² + 0x + 4 p(x) = –8x³ + 4 Grau 3 Não existe valor para m de forma que p(x) tenha grau 2.
(m + n + p)x4 – (p + 1)x³ + mx² + (n –p)x + n = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m. m + n + p = 0 –(p + 1) = 2m m = 2p + 7 n – p = 5 n = 2m –(p + 1) = 2m –p –1 = 2 * (2p + 7) –p –1 = 4p + 14 –p –4p = 14 + 1 –5p = 15 5p = –15 p = –3 m = 2p + 7 m = 2 * (–3) + 7 m = – 6 +7 m = 1 n = 2m n = 2 * 1 n = 2 Portanto, os valores de p, m e n são respectivamente –3, 1 e 2.
Uma equação quadrática ou do segundo grau é qualquer equação com a forma ax² + bx + c = 0 onde x representa o valor desconhecido ou variável enquanto que a, b, e c são números conhecidos também chamados de 'coeficientes numéricos'. 0 não é permitido para o valor de a porque se a = 0, então a equação será linear, não quadrática. O coeficiente 'a' é o coeficiente quadrático, 'b' o coeficiente linear e 'c' o termo constante ou livre.
Uma maneira de resolver equações quadráticas é fazer uso desta fórmula: x = -b ± √b² - 4ac2a A parte (b² - 4ac) é chamada de “discriminante”, pois pode “discriminar” entre os possíveis tipos de resposta. Se for positivo, você obterá duas soluções reais, se for zero você obterá apenas uma solução, e se for negativo você obterá soluções no conjunto dos números complexos (não haverá soluções no conjunto dos números reais. O 'discriminante' é representado por D ou pela letra grega Delta (Δ): Δ = b² - 4acPara que a Fórmula Quadrática funcione, você deve organizar a equação na forma 'ax² + bx + c = 0', conhecida como 'Forma Canônica'. Exemplos de como encontrar os coeficientes:
Vamos mostrar como resolver a equação x² - 5x + 6 = 0: a = 1, b = -5 e c = 6 Δ = b² - 4ac Δ = (-5)² - 4.1.6 = 25 - 4.6 Δ = 25 - 24 = 1 x = -b ± √Δ2a x = -(-5) ± √12.1 x = 5 ± √12 (solução geral) Como Δ > 0, obteremos duas raízes reais, x₁ e x₂. x₁ = 5 + √12 = 5 + 12 = 62 = 3 x₂ = 5 - √12 = 5 - 12 = 42 = 2
x² + 2x + 1 = 0 a = 1, b = 2 e c = 1 Δ = b² - 4ac Δ = 2² - 4.1.1 = 4 - 4.1 Δ = 4 - 4 = 0 x = -b ± √Δ2a x = -2 ± √02.1 x = -2 ± √02 Δ = 0, o que implica x₁ = x₂ = x. x = -22 = -1
Nós nos esforçamos ao máximo para assegurar que nossas calculadoras e conversores sejam tão precisos quanto possível, porém não podemos garantir isso. Antes de usar qualquer uma de nossas ferramentas, qualquer informação ou dados, por favor verifique sua exatidão em outras fontes. Uma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igual a zero. Ela pode ser caracterizada pelo grau do polinômio, e, quanto maior esse grau, maior será o grau de dificuldade para encontrar-se sua solução ou raiz. É importante também, nesse contexto, compreender o que é o teorema fundamental da álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui pelo menos uma solução complexa, em outras palavras: uma equação de grau um terá, pelo menos, uma solução, uma equação de grau dois, terá, pelo menos, duas soluções, e assim sucessivamente. Leia também: Quais são as classes de polinômios? Tópicos deste artigoO que é uma equação polinomialUma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igualado a zero, assim, toda expressão do tipo P(x) = 0 é uma equação polinomial, em que P(x) é um polinômio. Veja, a seguir, o caso geral de uma equação polinomial e alguns exemplos. Considere an, an –1, a n –2, …, a1, a0 e x números reais, e n um número inteiro positivo, a expressão seguinte é uma equação polinomial de grau n. As equações seguintes são polinomiais. a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0 b) 5x2 – 3 = 0 c) 6x – 1 = 0 d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0 Assim como os polinômios, as equações polinomiais possuem seu grau. Para determinar o grau de uma equação polinomial, basta encontrar a maior potência cujo coeficiente seja diferente de zero. Portanto, as equações dos itens anteriores são, respetivamente: a) A equação é do quarto grau: 3x4 + 4x2 – 1 = 0. b) A equação é do segundo grau: 5x2 – 3 = 0. c) A equação é do primeiro grau: 6x – 1 = 0. d) A equação é do terceiro grau: 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O método de resolução para uma equação polinomial depende do seu grau. Quanto maior o grau de uma equação, maior a dificuldade em resolvê-la. Neste artigo, mostraremos o método de resolução para equações polinomiais do primeiro grau, segundo grau e biquadradas. Uma equação polinomial do primeiro grau é descrita por um polinômio de grau 1. Assim podemos escrever uma equação do primeiro grau, de forma geral, da seguinte maneira. Considere dois números reais a e b com a ≠ 0, a expressão a seguir é uma equação polinomial do primeiro grau: ax + b = 0 Para resolver essa equação, devemos utilizar o princípio da equivalência, ou seja, tudo que é operado em um lado da igualdade dever também ser operado do outro lado. Para determinar a solução de uma equação do primeiro grau, devemos isolar a incógnita. Para isso, o primeiro passo é eliminar o b do lado esquerdo da igualdade, e, em seguida, subtrairemos b dos dois lados da igualdade. ax + b – b = 0 – b ax = – b Veja que ainda o valor da incógnita x não está isolado, o coeficiente a precisa ser eliminado do lado esquerdo da igualdade, e, para isso, vamos dividir ambos os lados por a. Resolva a equação 5x + 25 = 0. Para resolver o problema, devemos utilizar o princípio da equivalência. Tendo em vista facilitar o processo, omitiremos a escrita da operação do lado esquerdo da igualdade, sendo equivalente então dizer que vamos “passar” o número para o outro lado, trocando o sinal (operação inversa). Saiba mais sobre a resolução desse tipo de equação acessando o nosso texto: Equação do primeiro grau com uma incógnita. Uma equação polinomial do segundo grau tem como característica um polinômio de grau dois. Assim, considere a, b e c números reais com a ≠ 0. Uma equação do segundo grau é dada por: ax2 + bx + c = 0 A sua solução pode ser determinada utilizando-se o método de Bhaskara ou por fatoração. Se quiser saber mais sobre as equações desse tipo, leia: Equação do segundo grau. → Método de BhaskaraUtilizando o método de Bhaskara, temos que suas raízes são dadas pela seguinte fórmula: Determine a solução da equação x2 – 3x + 2 = 0. Observe que os coeficientes da equação são, respetivamente, a = 1, b = – 3 e c = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos que: → FatoraçãoVeja que é possível fatorar a expressão x2 – 3x + 2 = 0 utilizando a ideia de fatoração de polinômios. x2 – 3x + 2 = 0 (x – 2) · (x – 1) = 0 Observe agora que temos um produto igualado a zero, e um produto é igual a zero somente se um dos fatores é igual a zero, portanto, temos que: x – 2 = 0 x = 2 ou x – 1 = 0 x = 1 Veja que encontramos a solução da equação utilizando dois métodos diferentes. A equação biquadrada é um caso particular de uma equação polinomial do quarto grau, normalmente uma equação do quarto grau seria escrita na forma: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Em que os números a, b, c, d e e são reais com a ≠ 0. Uma equação do quarto grau é considerada biquadrada quando os coeficientes b = d = 0, ou seja, a equação fica na forma: ax4 + cx2 + e = 0 Veja, no exemplo a seguir, como resolver essa equação. Resolva a equação x4 – 10x2 + 9 = 0. Para resolver a equação, vamos utilizar a seguinte mudança de incógnita, e sempre que a equação for biquadrada, faremos tal mudança. x2 = p Da equação biquadrada, observe que x4 = (x2)2 e, portanto, temos que: x4 – 10x2 + 9 = 0 (x2)2 – 10x2 + 9 = 0 p2 – 10p + 9 = 0 Veja que agora temos uma equação polinomial do segundo grau e podemos utilizar o método de Bhaskara, assim: No entanto, devemos lembrar que, no início do exercício, foi feita uma mudança de incógnita, então, devemos aplicar o valor encontrado na substituição. x2 = p Para p = 9 temos que: x2 = 9 x’ = 3 ou x’’ = – 3 Para p = 1 x2 = 1 x’ = 1 ou x’’ = – 1 Portanto, o conjunto solução da equação biquadrada é: S = {3, –3, 1, –1} Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios Teorema fundamental da álgebra (TFA)O teorema fundamental da álgebra (TFA), provado por Gauss em 1799, afirma que toda equação polinomial da seguinte forma possui pelo menos uma raiz complexa. A raiz de uma equação polinomial é sua solução, ou seja, o valor da incógnita é que torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, uma equação do primeiro grau possui uma raiz já determinada, assim como a equação do segundo grau, que possui pelo menos duas raízes, e a biquadrada, que possui pelo menos quatro raízes.
Questão 1 – Determine o valor de x que torne a igualdade verdadeira. 2x – 8 = 3x + 7 Resolução Observe que, para resolver a equação, é necessário organizá-la, isto é, deixar todas as incógnitas no lado esquerdo da igualdade. 2x – 8 = 3x + 7 2x – 3x = 7 + 8 – x = 15 Pelo princípio da equivalência, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo mesmo número, e, como desejamos descobrir o valor de x, multiplicaremos ambos os lados por –1. (–1) – x = 15 (–1) x = – 15 Questão 2 – Marcos possui R$ 20 a mais que João. Juntos, eles conseguem comprar dois pares de tênis, custando R$ 80 cada par e sem sobrar nenhum dinheiro. Quantos reais têm João? Resolução Considere que Marcos possui x reais, como João tem 20 reais a mais, então ele possui x + 20. Marcos → x reais João → (x + 20) reais Como eles compraram dois pares de tênis que custam 80 reais cada, então, se juntarmos as partes de cada um, teremos que: x + (x + 20) = 2 · 80 x + x = 160 – 20 2x = 140 Portanto, Marcos tinha 70 reais, e João, 90 reais. Por Robson Luiz |
Considere 9x2-12x+4=0 uma equação polinomial de 2o grau. qual o valor de x que satisfaz essa equação
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