A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que: Show
A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2. Definição:Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$
a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido). ✅ Curiosidade Como calcular a raiz quadrada?Raiz quadrada exataEm caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir: Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$. Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$. Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos: Exemplo 3: $$√{576}=$$ $$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$ Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto: $$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$ Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja: $$$√{576}=24$$$ Raiz quadrada não-exataNem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5. Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata: 1. Decomposição em fatores primos: $$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$ Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$. Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz. Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$. 2. Tentativa por aproximação: Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação. Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo: $$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$ Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados. Operações com raizes quadradasAdição e subtraçãoAo tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$. Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz: Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$ Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$ Multiplicação e divisãoDiferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si. Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$ Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$ O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$ Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$
Em situações cotidianas, o desafio de calcular a raiz quadrada de um número é enfrentado. E se você não tiver acesso a uma calculadora ou qualquer outro gadget? Isso pode ser feito com papel e lápis antigos em um estilo de divisão longa. Sim, existem várias maneiras de fazer isso. Vamos começar discutindo a raiz quadrada e suas propriedades. O que é uma raiz quadrada?Uma raiz quadrada é um valor que dá ao número original aquela multiplicação de si mesmo. por exemplo, 6 multiplicado por ele mesmo dá 36 (ou seja, 6 × 6 = 36), portanto, 6 é a raiz quadrada de 36 ou, em outras palavras, 36 é o número quadrado de 6.
A seguir estão as raízes quadradas dos primeiros 50 dígitos como:
Portanto, a raiz quadrada do quadrado de um número positivo fornece o número original. No entanto, a raiz quadrada de um número negativo representa um número complexo. Propriedades da raiz quadrada
Quadrado perfeitoUm número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros idênticos é chamado de quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são números que podem ser feitos elevando-se ao quadrado qualquer número inteiro.
Métodos para encontrar a raiz quadrada de um númeroPara determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito, devemos primeiro determinar se é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Se o número for um quadrado perfeito, como 4, 9, 16, etc., usaremos o processo de fatoração de primos para fatorá-lo. Devemos usar a abordagem de divisão longa para encontrar a raiz se o número for um quadrado incompleto, como 2, 3, 5 e assim por diante.
1. Método de subtração repetidaSabe-se que a soma dos primeiros n números naturais ímpares é n 2 . Faremos isso para calcular a raiz quadrada de um inteiro subtraindo-o várias vezes. Vamos considerar um exemplo e ver como essa abordagem funciona. Digamos que você deva encontrar a raiz quadrada de 25, que é √25. As etapas são as seguintes: Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de subtração repetida para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Determine a raiz quadrada de 25 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 2: Determine a raiz quadrada de 16 usando o método de subtração repetida.
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 49 usando o método de subtração repetida. Solução:
2. Método de Fatoração PrincipalO método de fatoração de primos envolve a expressão de números em função de seus fatores primos. A raiz quadrada do número é dada pelo produto de um elemento de cada par de fatores primos iguais. Essa abordagem também pode ser usada para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou não. Este método, entretanto, não pode ser usado para encontrar a raiz quadrada de números decimais quadrados não perfeitos.
3. Método de DivisãoQuando os inteiros são suficientemente grandes, é fácil obter a raiz quadrada de um quadrado perfeito utilizando a abordagem de divisão longa, porque obter suas raízes quadradas por meio da fatoração se torna demorado e complicado. Para superar esse problema, um novo método para encontrar a raiz quadrada é desenvolvido. Este método usa basicamente a operação de divisão por um divisor cujo quadrado é menor ou igual ao dividendo. A seguir estão as etapas para o método de divisão: Etapa 1: pegue o número cuja raiz quadrada deve ser encontrada. Coloque uma barra sobre cada par do dígito do número, começando daquele no lugar da unidade (lado direito). Etapa 2: vamos dividir o número mais à esquerda pelo maior número cujo quadrado é menor ou igual ao número sob a barra mais à esquerda. Considere este número como o divisor e o quociente. O número sob a barra mais à esquerda é considerado o dividendo. Etapa 3: divida e obtenha o número. Abaixe o número sob a próxima barra à direita do restante. Etapa 4: Dobre o divisor (ou some o divisor a ele mesmo). À direita desse divisor, encontre um número adequado que, junto com o divisor, forma um novo divisor para o novo dividendo. O novo número no quociente terá o mesmo número selecionado no divisor. A condição é a mesma que ser menor ou igual ao dividendo. Etapa 5: continue este processo até chegarmos a zero como o restante. O quociente assim obtido será a raiz quadrada do número. Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de divisão para determinar as raízes quadradas. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 144 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 196 usando o método de divisão. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 225 usando o método de divisão. Solução:
4. Raízes quadradas de números complexosPara calcular a raiz quadrada de um número complexo, vamos supor que a raiz seja ea + ib. Em seguida, compare-o com o número original para obter os valores de aeb, resultando na raiz quadrada. Seja a + ib um número complexo, portanto, para encontrar a raiz quadrada de a + ib, a seguinte fórmula pode ser usada Vamos considerar os exemplos a seguir para entender a determinação das raízes quadradas de números complexos. Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 6 - 8i. Solução:
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 9 + 40i. Solução:
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 3 + 4i. Solução:
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