Sabendo que os números 6 24 5 ex formam, nessa ordem, uma proporção determine o valor de x

A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa igualdade seja verdadeira, então dizemos que os números que foram as razões na ordem dada são proporcionais.

O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois elas possibilitam-nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do nosso cotidiano. São exemplos de proporções: escala de um mapa, velocidade média de um móvel, e densidade de uma solução.

Leia também: Problemas envolvendo números fracionários

O que é razão e proporção?

A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são dados. Sejam a e b dois números racionais, em que b é diferente de 0, a razão entre a e b é dada por:

Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma igualdade, então temos uma proporção. Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão proporcionais.

Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira.

De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira somente quando a multiplicação cruzada for verdadeira.

Propriedades da proporção

Considere a seguinte proporção entre os números a, b, c e d:

Então as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade 1 – O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação cruzada).

Propriedade 2 – A razão entre a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos e o primeiro termo é igual à razão entre a soma (ou diferença) dos dois últimos termos e o terceiro termo.

Leia também: Propriedades da proporção – quais são e como calcular?

Como calcular proporções

Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos:

Exemplo 1

Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.

Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada.

Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma proporção.

Exemplo 2

Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x.

Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade 1, veja:

Grandezas direta e inversamente proporcionais

Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar, por exemplo, quantidade, distância, massa, volume etc. As grandezas podem ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente proporcionais (GIP), vejamos a diferença entre elas:

Grandezas diretamente proporcionais

Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais se a razão dos valores da primeira grandeza é igual à dos valores da segunda grandeza, e assim sucessivamente. Por exemplo, a grandeza massa é proporcional ao peso de um objeto, veja na tabela:

Observe que a razão entre as grandezas é sempre igual:

O mesmo vai acontecer se realizarmos a razão entre os demais valores.

Outra maneira de saber se duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais é verificando o crescimento ou decrescimento de ambas. Por exemplo, se uma grandeza aumenta, a outra também deverá aumentar, caso elas sejam diretamente proporcionais. Vejamos o exemplo:

Na tabela de massa x peso, veja que quanto maior é a massa do objeto (↑), maior será o peso dele (↑), logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplo

Os números x, t e 2 são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 10. Determine os valores de x e t.

Como o exemplo afirmou-nos que os números são diretamente proporcionais, então a razão entre eles é igual, assim:

Multiplicando cruzado cada uma das igualdades, temos:

5x = 5

x = 1

e

5t = 6

t = 6 ÷ 5

t = 1,2

Portanto, x = 1 e t = 1,2.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas ou mais grandezas serão inversamente proporcionais se a razão entre os valores da primeira for igual ao inverso da razão dos valores da segunda. Podemos interpretar isso de outra maneira, se uma grandeza cresce (↑) e a outra grandeza decresce (↓), então elas são inversamente proporcionais. Veja o exemplo:

As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que quanto maior é a velocidade de determinada viagem (↑), menor será o tempo dessa viagem (↓). Veja também que se pegarmos a razão entre dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de dois valores da segunda grandeza, a igualdade será verdadeira.

Exemplo

Divida o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6.

Como queremos dividir o número 120 em duas partes e desconhecemo-las, vamos chamá-las de a e 120 – a. Pela definição de inversamente proporcional, a razão entre os primeiros valores é igual ao inverso da razão dos dois últimos valores. Assim:

Como a outra parte é 120 – a, então:

120 – a

120 – 72

48

Portanto, ao dividirmos o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6, obtemos 72 e 48.

Exercício resolvido

Questão 1 – (Fuvest) Na tabela a seguir, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.

Resolução

Observe que o enunciado afirma que os valores de y são inversamente proporcionais aos do quadrado de x, ou seja, a razão entre os valores de y será igual ao inverso dos valores de x elevado ao quadrado.

Usando a mesma lógica, vamos determinar o valor de m.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Full PDF PackageDownload Full PDF Package

This Paper

A short summary of this paper

22 Full PDFs related to this paper

Download

PDF Pack

• 
  Denunciar

proporção. Dizemos, então, que as razões 15 6 e 25 10 formam uma proporção. Então: Proporção é a igualdade entre duas razões. 9 Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. d c b adcba == ou:: Na proporção d c b a = , temos: a e d � extremos b e c � meios Propriedade fundamental das proporções De um modo geral, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. { { meios dos produto extremos dos produto cbda d c b a ⋅=⋅⇒= Exemplo: ► Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determine o valor de x. 20 6 120 1206 2456 5 24 6 = = = ⋅= = x x x x x Logo, o valor de x é 20. 10 EXERCÍCIOS E (1) Aplicando a propriedade fundamental, verifique se os seguintes pares de razões formam uma proporção: a) 9 6 e 3 2 b) 6 4 e 16 13 c) 4 6 e 10 4 (2) Verifique se os números abaixo formam, na ordem em que aparecem, uma proporção: a) 4, 6, 20 e 30 b) 1, 6, 3 e 12 c) 3, 5, 20 e 12 (3) Calcule o valor de x nas seguintes proporções: a) 12 8 3 = x b) 21 142 = x c) x 5 6 1 = Outras propriedades das proporções Vamos estudar duas propriedades das proporções que são bastante utilizadas na resolução de problemas. 1ª Propriedade: Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim com a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). •••• d dc b ba c dc a ba d c b a + = ++ = + ⇒= ou •••• d dc b ba c dc a ba d c b a − = −− = − ⇒= ou 11 2ª Propriedade: Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente. •••• d c db ca b a db ca d c b a = + + = + + ⇒= ou •••• d c db ca b a db ca d c b a = − − = − − ⇒= ou Exemplos: a) Determinar x e y na proporção 4 3 = y x , sabendo que 28=+ yx . ou 12 7 84 847 2837 3 728 28 3 43 epropriedad 1ª a aplicando 4 3 = = = ⋅= = =+→ + = + →= x x x x x yx x yx y x Como 28=+ yx : 16 1228 2812 28 = −= =+ =+ y y y yx 16 7 112 1127 2847 4 728 28 4 43 epropriedad 1ª a aplicando 4 3 = = = ⋅= = =+→ + = + →= x x y y y yx y yx y x Como 28=+ yx : 12 1628 2816 28 = −= =+ =+ x x x yx Portanto, Como 12=x e 16=y . 12 b) Determinar os números a, b e c na proporção 253 cba == sabendo que 200=++ cba . 60 10 600 60010 200310 310 epropriedad 2ª a aplicando 253 = = = ⋅= = =++→= ++ ++ →== a a a a a cbaacba cba Tomando as igualdades duas a duas: 100 3 300 3003 6053 53 60 53 = = = ⋅= = = b b b b b ba 40 3 120 1203 6023 23 60 23 = = = ⋅= = = c c c c c ca ou: 40 160200 200160 20010060 200 = −= =+ =++ =++ c c c c cba Logo, 40e100,60 === cba . 13 EXERCÍCIOS F (1) Aplicando as propriedades, determine os números x, y e z em cada uma das seguintes proporções: a) 2 1 = y x , sabendo que 90=+ yx b) 4 5 = y x , sabendo que 12=− yx c) 56 yx = , sabendo que 15=− yx d) 258 zyx == , sabendo que 90=++ zyx (2) A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de alumínio é igual a 8 7 . Calcule as massas de alumínio e de oxigênio necessárias para formar 51 g de óxido de alumínio. 14 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. SOMATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 5 de outubro de 2008.