Como resolver operações com raiz quadrada

A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.

Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.

Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?

Radiciação

Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.

A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.

Elementos da radiciação

A operação é representada por:

n→ índice

a→ radicando

b→ raiz

Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.

Calculando a raiz quadrada

O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.

Tipos de raiz quadrada

Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.

Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.

Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.

Calcule a raiz quadrada de 3600.

Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.

Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.

Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.

Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.

Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.

Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.

6,1² = 37,21

6,2²= 38,44

6,3²=39,69

6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.

Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.

Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².

Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.

O lado do quadrado é de 13 metros.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?

A) 8,1

B) 8,2

C) 8,3

D) 8,4

E) 8,5

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:

8,1²= 65,61

8,2²= 67,24

8,3²= 68,89

8,4²= 70,56

8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.

Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?

Resolução

Alternativa C.

a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.

b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.

c) Não possui raiz exata

d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.

e) Possui raiz exata igual a 1.    

Para adicionar ou subtrair raízes quadradas, você vai precisar combinar as raízes que tenham o mesmo termo do radial. Isso significa que você pode adicionar e subtrair 2√3 e 4√3, mas não 2√3 e 2√5. Existem muitos casos em que é possível realmente simplificar o número dentro do radical para que eles possam ser combinados como termos e então adicionar e remover raízes quadradas.

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   Simplifique qualquer termo dentro do radical se possível. Para fazer isso, tente fatorar os termos para encontrar pelo menos um termo que seja um quadrado perfeito, como 25 (5 x 5) ou 9 (3 x 3). Em seguida, você pode pegar a raiz quadrada do quadrado perfeito e escrevê-la fora do radical, deixando o fator restante dentro dele. Neste exemplo, usaremos o seguinte problema: 6√50 - 2√8 + 5√12. Os números fora do radical são os coeficientes e os números dentro são os radicandos. Veja como simplificar cada termo: [1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Nesse exemplo, você fatora "50" em "25 x 2" e tira o "5" da raiz perfeita, "25", e o coloca fora do radical, com o "2" restante dentro dele. Em seguida, você multiplica "5" por "6", o número fora do radical, para obter "30" como o novo coeficiente.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Nesse exemplo, você fatora "8" em "4 x 2"e tira o "2" da raiz perfeita, "4", e o coloca fora do radical, com o "2" dentro dele. Em seguida, você multiplica "2" por "2", o número fora do radical, para obter "4" como o novo coeficiente.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Nesse exemplo, você fatora "12" em "4 x 3"e tira o "2" da raiz perfeita, "4", e o coloca fora do radical, com o fator "3" dentro dele. Em seguida, você multiplica "2" por "5", o número fora do radical, para obter "10" como o novo coeficiente.

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   Circule quaisquer termos com radicandos iguais. Após simplificar os radicandos dos termos, a equação vai ficar da seguinte forma: 30√2 - 4√2 + 10√3. Como somente é possível adicionar ou subtrair termos iguais, circule os termos que possuem o mesmo radical. No exemplo utilizado, os termos são 30√2 e 4√2. Pense nesse procedimento como sendo parecido com a adição ou subtração de frações, onde somente é possível fazer isso com os termos de mesmo denominador.

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   Se estiver trabalhando com uma equação longa em que existam múltiplos pares com radicandos iguais, você pode circular o primeiro par, sublinhar o segundo e colocar um asterisco no terceiro, e assim por diante. Alinhe os termos para facilitar a visualização da solução.

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   Adicione ou subtraia o os coeficientes dos termos com radicandos iguais. Agora, tudo o que você precisa fazer é adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos com radicandos iguais e deixar quaisquer termos adicionais como parte da equação. Não combine os radicandos. A ideia é identificar quantos tipos de radicais existem no total. Os termos diferentes podem continuar os mesmos. Faça o seguinte:

   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

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   Exemplo 1. Neste exemplo, adicione a seguinte raiz quadrada: √(45) + 4√5. Faça o seguinte:

   • Simplifique √(45). Primeiro, fatore para obter √(9 x 5).
   • Em seguida, tire o "3" da raiz quadrada perfeita, "9", e transforme-o em coeficiente do radical. Então, √(45) = 3√5.
   • Agora, basta adicionar os coeficientes dos dois termos com os radicandos iguais para conseguir a resposta. 3√5 + 4√5 = 7√5

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   Exemplo 2. Neste exemplo, o problema é o seguinte: 6√(40) - 3√(10) + √5. Faça o seguinte:

   • Simplifique 6√(40). Primeiramente, fatore o "40" para obter "4 x 10", resultando em 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Em seguida, tire o "2" da raiz quadrada perfeita, "3", e multiplique-o pelo coeficiente atual. Agora, você tem 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Multiplique os dois coeficientes para obter 12√10.
   • Agora, o problema é o seguinte: 12√10 - 3√(10) + √5. Como os dois primeiros termos têm os mesmos radicandos, você pode subtrair o segundo termo do primeiro e deixar o terceiro como está.
   • Agora, o problema mudou para (12-3)√10 + √5, que pode ser simplificado para 9√10 + √5.

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   Exemplo 3. Neste exemplo, o problema é o seguinte: 9√5 -2√3 - 4√5. Aqui, nenhum dos radicais têm fatores que sejam quadrados perfeitos, então a simplificação não é possível. O primeiro e o terceiro termos são radicais iguais, então seus coeficientes já podem ser combinados (9-4). O radicando não sofre alteração. Os termos restantes não são iguais, então o problema pode ser simplificado para 5√5 - 2√3.

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   Exemplo 4. Digamos que o problema seja o seguinte: √9 + √4 - 3√2. Faça o seguinte:

   • Como √9 é o mesmo que √(3 x 3), você pode simplificar √9 para 3.
   • Como √4 é o mesmo que √(2 x 2), você pode simplificar √4 para 2.
   • Agora, você pode simplesmente adicionar 3 + 2 para obter 5.
   • Como 5 e 3√2 não são termos iguais, não há mais nada a ser feito. A resposta final é 5 - 3√2.

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   Exemplo 5. Vamos tentar adicionar e subtrair raízes quadradas que são parte de uma fração. Agora, assim como em uma fração normal, você somente pode adicionar ou subtrair frações que possuem o mesmo numerador ou denominador. Digamos que o problema seja o seguinte: (√2)/4 + (√2)/2. Faça o seguinte:

   • Faça com que os termos tenham o mesmo denominador. O menor denominador comum, ou denominador divisível por ambos os denominadores, "4" e "2," é o "4".
   • Assim, para fazer o segundo termo, (√2)/2, ter o denominador 4, você vai precisar multiplicar seu numerador e denominador por 2/2. (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Adicione os numeradores das frações e mantenha os denominadores iguais. Faça o mesmo que faria ao adicionar frações. (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4.

• Sempre simplifique quaisquer radicais que tenham fatores de raiz quadrada perfeita antes de começar a identificar e combinar radicandos iguais.

• Nunca combine radicais diferentes.
• Nunca combine um número inteiro com radical de modo que: 3 + (2x)1/2 não pode ser simplificado.
  • Nota: dizer "metade da potência de (2x)" = (2x)1/2 é outra forma de dizer "raiz quadrada de (2x)".

1. ↑ http://www.purplemath.com/modules/radicals3.htm