A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo. Ao multiplicar o 3 por ele mesmo 4 vezes, isso pode ser representado pela potência 3 elevada a 4: 34. Show
Essa operação possui propriedades importantes que facilitam o cálculo das potências. Assim como a multiplicação possui a divisão como operação inversa, a potenciação possui a radiciação como operação inversa. Cada elemento da potenciação recebe um nome específico: an = b a → base n→ expoente b→ potência Leia também: Potenciação e radiciação de frações Como ler uma potência? Saber ler uma potência é uma tarefa importante. A leitura é sempre feita começando pelo número que está na base elevado ao número que está no expoente, como nos exemplos a seguir: Exemplos: a) 4³ → Quatro elevado a três, ou quatro elevado à terceira potência, ou quatro elevado ao cubo. b) 34 → Três elevado a quatro, ou três elevado à quarta potência. c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos dois elevado à primeira potência. d) 8² → Oito elevado a dois, ou oito elevado à segunda potência, ou oito elevado ao quadrado. As potências de expoente 2 podem ser chamadas também de potências elevadas ao quadrado, e as potências de grau 3 podem ser chamadas de potências elevadas ao cubo, como nos exemplos anteriores. Cálculo de potênciasPara encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações como nos exemplos a seguir: a) 3²= 3 · 3 = 9 b) 5³= 5·5·5 = 125 c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000 Existem alguns tipos específicos de potência. 1º caso – Quando a base for diferente de zero, podemos afirmar que todo número elevado a zero é igual a 1. Exemplos: a) 100=1 b) 12930=1 c) (-32)0=1 d) 80=1 2º caso - Todo número elevado a 1 é ele mesmo. Exemplos: a) 9¹ = 9 b) 12¹ = 12 c) (-213)¹= - 213 d) 0¹ = 0 3º caso - 1 elevado a qualquer potência é igual a 1. Exemplos: a) 1²¹ = 1 b) 1³ = 1 c) 1500=1 4º caso - Base de uma potenciação negativa Quando a base é negativa, separamos em dois casos: quando o expoente for ímpar, a potência será negativa; quando o expoente for par, a resposta será positiva. Exemplos: a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Note que o expoente 3 é ímpar, logo a potência é negativa. b) (-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Note que o expoente 4 é par, por isso a potência é positiva. Leia também: Potências com expoente negativo Potência com expoente negativoPara calcular a potência com expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente. Propriedades da potenciaçãoAlém dos tipos de potenciação mostrados, a potenciação possui propriedades importantes para facilitar o cálculo de potência. → 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma baseAo realizarmos uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Exemplos: a) 24· 23 = 24+3=27 b) 5³ · 55 · 52= 53+5+2 = 510 → 2ª propriedade – Divisão de potências de mesmo baseQuando encontramos uma divisão de potência de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Exemplos: a) 37 : 35 = 37-5 = 32 b) 23 : 26 = 23-6 = 2-3 → 3ª propriedade – Potência de potênciaAo calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Exemplos: a) (5²)³ = 52·3 = 56 b) (35)4 = 35·4 = 3 20 → 4ª propriedade – Potência de um produtoQuando há uma multiplicação de dois números elevada a um expoente, podemos elevar cada um desses números ao expoente. Exemplos: a)(5 · 7)3 = 53 · 73 b)( 6·12)8 = 68 · 128 → 5ª propriedade – Potência do quocientePara calcular potências de um quociente ou até mesmo de uma fração, o modo de realizar é muito parecido com a quarta propriedade. Se há uma divisão elevada a um expoente, podemos calcular a potência do dividendo e do divisor separadamente. a) (8:5)³ = 8³ : 5³ Potenciação e radiciaçãoA radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, ela desfaz o que foi feito pela potência. Por exemplo, ao calcularmos a raiz quadrada de 9, estamos procurando o número elevado ao quadrado que resulta em 3. Então, para entender uma delas, é fundamental que se domine a outra. Em equações, também é bastante comum o uso da radiciação para eliminar uma potência de uma incógnita, e também o contrário, ou seja, usarmos potenciação para eliminar a raiz quadrada de uma incógnita. Exemplo - Calcule o valor de x, sabendo que x³ = 8. Para calcular o valor de x, é necessário realizar a operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação. Na realidade, estamos buscando qual é o número que, ao ser elevado ao cubo, tem como resultado o número 8. Essa relação entre a radiciação e a potenciação torna fundamental dominar as regras de potenciação para avançar o aprendizado sobre a radiciação. Leia também: Como calcular raízes usando potências? Exercícios resolvidos1) (PUC-RIO) O maior número abaixo é: a) 331 b)810 c)168 d)816 e)2434 Resolução: Realizar a comparação calculando cada um deles seria uma tarefa difícil, então vamos simplificar as alternativas, a) 331 → já está simplificada b) 8 = 2³ → (2³)10 = 230 c) 16 = 24 → (24)8 = 232 d) 81 = 34 → (34)6 = 324 e) 243=35 → (35)4 = 320 Logo, a maior das potências é a letra A. 2) A simplificação da expressão [310: (35. 3)2]- é igual a: a)3-4 b)34 c)30 d)3² e)3-2 Resolução: [310: (35. 3)2]-2 [310: (36)2]-2 [310: 312]-2 [3-2]-2 34 Letra B.
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta. Como calcular a raiz quadrada?Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários. No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos. Quanto é a raiz quadrada de √2704? Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos. No exemplo acima, temos Portanto, a √2704 é 52. Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural. Exemplos:
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais. Você sabia?Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento. ExemplosRaiz Quadrada de 2√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata) √3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 5√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 8√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 9√9 = 3 (pois 32 é igual a 9) Raiz Quadrada de 25√25 = 5 (pois 52 é igual a 25) Raiz Quadrada de 36√36 = 6 (pois 62 é igual a 36) Raiz Quadrada de 49√49 = 7 (pois 72 é igual a 49) Raiz Quadrada de 64√64 = 8 (pois 82 é igual a 64) Raiz Quadrada de 100√100 = 10 (pois 102 é igual a 100) Raiz Quadrada de 144√144 = 12 (pois 122 é igual a 144) Raiz Quadrada de 196√196 = 14 (pois 142 é igual a 196) Raiz Quadrada de 400√400 = 20 (pois 202 é igual a 400) Saiba mais sobre Quadrado Perfeito. Exercícios resolvidos com raiz quadradaQuestão 1(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é: a) 59 b) 47 c) 41 d) 57 e) 1
Alternativa correta: c) 41. Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32 Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é: 49 + (– 8) = 41 Portanto, a alternativa correta é c) 41. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões: I. II. III. É (são) verdadeira(s), somente: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.
Alternativa correta: b) II. I. ERRADA. A resposta correta é . II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração. III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3(UFRGS) A expressão a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2 e) 1
Alternativa correta: e) 1. 1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão. De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1. Veja também: Fatoração de Polinômios Símbolo da Raiz QuadradaO símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x. Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t. Aprenda mais sobre esse assunto em |
Como fazer a raiz quadrada elevado a 3 potência
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