Como encontrar a raiz quadrada pela fórmula de bhaskara

A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau cujo nome homenageia o grande matemático indiano que a demonstrou. Essa fórmula nada mais é do que um método para encontrar as raízes reais de uma equação do segundo grau fazendo uso apenas de seus coeficientes. Vale lembrar que coeficiente é o número que multiplica uma incógnita em uma equação.

Em sua forma original, a fórmula de Bhaskara é dada pela seguinte expressão:

Para utilizar essa fórmula, é necessário lembrar que toda equação do segundo grau deve ser escrita da seguinte maneira:

Os coeficientes dessa equação são os números que ocupam o lugar de “a”, de “b” e de “c”. Portanto, o coeficiente “a” é o número que multiplica x2; o coeficiente “b” é o número que multiplica x; e o coeficiente “c” é o número que não multiplica incógnita.

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Mapa Mental: Fórmula de Bháskara

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Como resolver equações do segundo grau com a fórmula de Bhaskara?

Resolver uma equação do segundo grau é encontrar os valores de x (ou da incógnita proposta) que fazem com que essa equação seja igual a zero.

O método resolutivo de Bhaskara apenas exige que o valor numérico de cada coeficiente seja substituído na fórmula de Bhaskara. Após isso, basta realizar as operações matemáticas indicadas pela fórmula para obter as raízes da equação. Contudo, esse método costuma ser dividido em três etapas para facilitar a compreensão por parte dos alunos.

Etapa 1: Calcular discriminante

Discriminante é a expressão presente dentro da raiz na fórmula de Bhaskara. É comumente representado pela letra grega Δ (Delta) e recebe esse nome pelo fato de discriminar os resultados de uma equação da seguinte maneira:

Δ < 0, então a equação não possui resultados reais;

Δ = 0, então a equação possui apenas um resultado real ou possui dois resultados iguais (essas duas afirmações são equivalentes);

Δ > 0, então a equação possui dois resultados distintos reais.

Portanto, para calcular as raízes de uma equação do segundo grau, primeiramente calcule o valor numérico de Δ.

Geralmente a fórmula de Bhaskara é ensinada apenas da seguinte maneira:

Nessa etapa, basta substituir os valores de Δ e dos coeficientes da equação do segundo grau na fórmula acima.

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Para essa última etapa, note na fórmula de Bhaskara que existe um sinal “±”. Esse sinal indica que devem ser realizados dois cálculos. O primeiro para o caso em que o número que o segue seja positivo e o segundo para o caso em que o número que o segue seja negativo.

É comum nomear cada um desses resultados como x' e x'' ou x1 e x2. Observe:

Exemplos

Exemplo 1 – Calcule as raízes da equação x2 + 12x – 13 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara, separe os coeficientes da equação e realize o primeiro passo.

a = 1, b = 12 e c = – 13

Δ = b2 – 4ac

Δ = 122 – 4·1·(– 13)

Δ = 144 + 52

Δ = 196

Tendo em mãos o valor de Δ, realize o segundo passo:

x = – b ± √Δ
      2·a

x = – 12 ± √196
      2·1

x = – 12 ± 14
      2

Por fim, realize o terceiro passo para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

x' = – 12 + 14
       2

x' = 2
      2

x' = 1

x'' = – 12 – 14
       2

x'' = – 26
       2

x'' = – 13

Portanto, as raízes da equação x2 + 12x – 13 = 0 são 1 e – 13.

Exemplo 2 – Calcule as raízes da equação 2x2 – 16x – 18 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, separe os coeficientes da equação e realize o primeiro passo.

a = 2, b = – 16 e c = – 18

Δ = b2 – 4ac

Δ = (– 16)2 – 4·2·(– 18)

Δ = 256 + 144

Δ = 400

Tendo em mãos o valor de Δ, realize o segundo passo:

x = – b ± √Δ
      2·a

x = – (– 16) ± √400
      2·2

x = 16 ± 20
    4

Por fim, realize o terceiro passo para encontrar as raízes da equação do segundo grau:

x' = 16 + 20
      4

x' = 36
      4

x' = 9

x'' = 16 – 20
      4

x'' = – 4
       4

x'' = – 1

Portanto, as raízes da equação 2x2 – 16x – 18 = 0 são 9 e – 1. Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.

Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c.

A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira:

Onde,

x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Discriminante da Equação

A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:

Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.

Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:

Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.

Se o valor de Δ for menor que zero (Δ

Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:

Exemplo
Quantas e quais são as raízes da equação ?

Solução

O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.

Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:

Como delta é maior que zero , então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.

Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo.

Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.

Equações de Segundo Grau

As equações do segundo grau são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2.

Elas são representadas pela expressão:

Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:

2x2 + 3x + 5 = 0

Onde,

a = 2 b = 3

c = 5

Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:

bx + c = 0

Leia mais em Função Quadrática.

Exemplos

Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos:

x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1

- x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0

- 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0

2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5

3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1

Classificações das Equações de Segundo Grau

As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:

• Completas: quando os coeficientes a, b e c, são diferentes de zero.
• Incompletas: quando o coeficiente a é diferente de zero (a ≠ 0) e b, ou c, ou ambos são iguais a zero.

A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.

Função do segundo grau e fórmula de Bhaskara

As funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau.

Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito).

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo.

Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara.

Exemplo
Esboce em um plano cartesiano a curva da função do 2° grau:

Resolução:
Como o parâmetro a que multiplica o termo x² é negativo, no caso a = -1, a parábola é aberta para baixo, possui concavidade para baixo.

Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0.

Determinando as raízes

Os coeficientes são:

a = -1 b = 1

c = 6

Discriminante:

Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada:

As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos.

Plotando o gráfico da função temos:

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.

(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2

Pratique mais exercícios sobre fórmula de Bhaskara.