Observe o sólido representado na figura abaixo Qual e a quantidade de aresta desse sólido

A planificação de um sólido geométrico é a apresentação de todas as formas que constituem sua superfície em um plano, ou seja, em duas dimensões. Essas planificações são usadas de várias maneiras, como para calcular a área da superfície de um sólido.

Confira as planificações dos sólidos geométricos mais conhecidos e um modo de calcular a área do sólido a partir de sua planificação.

Pirâmide

As pirâmides são sólidos formados por uma base, que pode ser qualquer polígono, e por faces laterais que são obrigatoriamente triângulos. A planificação da pirâmide sempre terá um polígono e alguns triângulos.

Perceba que o número de lados da base de uma pirâmide é igual ao número de triângulos que aparecem na sua planificação. Observe também que os triângulos não necessariamente são congruentes (iguais), o que só acontece quando o polígono da base é regular.

Prismas

Os prismas são sólidos geométricos formados por duas bases, que são polígonos quaisquer congruentes e paralelos, e por faces laterais que sempre são paralelogramos.

Nos prismas, a quantidade de faces laterais também é igual ao número de lados de uma de suas bases. Sendo assim, sua planificação sempre apresenta dois polígonos congruentes e alguns paralelogramos, que só serão todos iguais se as bases do prisma forem regulares.

Uma forma de calcular a área dos prismas, além de exemplos resolvidos, pode ser encontrada aqui.

Cones

Os cones são sólidos geométricos formados por um círculo, que é sua base, e por uma superfície curva no formato de funil. As duas figuras geométricas resultantes da planificação de um cone são um setor circular e um círculo. Veja:

A área dos cones pode ser encontrada pela seguinte expressão:

A = πr(g + r)

Na fórmula, r é o raio do cone e g é a geratriz. Mais detalhes sobre essa fórmula podem ser encontrados aqui. Veja um exemplo de cálculo:

Qual é a área de um cone cuja geratriz mede 10 cm e o raio mede 5 cm?

Solução: substitua esses dados na fórmula acima e considere π = 3,14.

A = πr(g + r)

A = 3,14·5(10 + 5)

A = 15,7·15

A = 235,50 cm2

Cilindros

Os cilindros são sólidos geométricos cujas bases são dois círculos paralelos e congruentes. Em sua planificação, temos dois círculos e um retângulo. Veja:

A área do cilindro é determinada pela soma das áreas das duas bases e da superfície lateral. Sabendo que essas figuras são dois círculos congruentes e um retângulo, podemos realizar a seguinte soma:

A = 2AC + AR

A = 2πr2 + bh

Nessa fórmula, r é o raio do cilindro, h é a sua altura e b é a base do retângulo obtido na planificação. Essa base é exatamente o comprimento do círculo: 2πr.

A = 2πr2 + 2πrh

A = 2πr(r + h)

Veja um exemplo de cálculo de área:

Um cilindro possui base circular cujo raio é 2 cm e a altura é 10 cm. Calcule sua área.

Solução: substituindo na fórmula acima os valores dados e considerando π = 3,14, teremos:

A = 2πr(r + h)

A = 2·3,14·2·(2 + 10)

A = 12,56·12

A = 150,72 cm2

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

A planificação de sólidos geométricos é uma forma de apresentar esses sólidos usando apenas um plano, ou seja, é uma forma de representar um objeto tridimensional em apenas duas dimensões. Para tanto, basta construir cada superfície externa do sólido do modo como essa figura seria no plano, respeitando suas medidas.

Todo sólido geométrico é formado por, pelo menos, uma superfície. Quando essa superfície é plana e poligonal, ela é chamada de face; quando ela é curva, é preciso imaginar como seria se ela fosse “esticada”. A superfície curva do cilindro, por exemplo, pode ser compreendida como um paralelogramo que foi enrolado.

Planificação de pirâmides

Observe, na imagem a seguir, uma pirâmide de base pentagonal.

Lembre-se de que uma pirâmide é formada por uma base poligonal – que pode ser qualquer polígono – e por faces laterais triangulares. Assim, fica fácil concluir que a planificação da pirâmide apresenta um polígono e alguns triângulos.

Observe que o número de triângulos sempre será igual ao número de lados do polígono da base. A planificação de uma pirâmide pentagonal, por exemplo, é composta por cinco triângulos e por um pentágono, como mostra a imagem a seguir:

Dito isso, a planificação de uma pirâmide de base triangular é composta por quatro triângulos: uma da base e três das faces laterais.

A planificação de uma pirâmide cuja base é um quadrilátero é composta por um quadrilátero e quatro triângulos, que também não são necessariamente congruentes.

Resumindo: o número de triângulos da planificação de uma pirâmide é igual ao número de lados da base.

Vale dizer que os triângulos não precisam ser congruentes, pois existem casos de pirâmides oblíquas.

Planificação dos prismas

Observe, na imagem a seguir, um prisma de base pentagonal.

O prisma é um sólido geométrico formado por duas bases poligonais congruentes e por faces laterais que são paralelogramos.

O número de paralelogramos presentes na planificação do prisma é igual ao número de lados de uma de suas bases. Além disso, na planificação, aparecerão dois polígonos congruentes, que são as bases. A figura a seguir mostra a planificação de um prisma de base pentagonal:

Como o número de paralelogramos é igual ao número de lados da base do prisma, um prisma de base octogonal possui oito paralelogramos em sua planificação. Esses paralelogramos não necessariamente são congruentes, apenas nos casos em que o prisma é reto.

Planificação dos cones

Observe na imagem a seguir um cone:

O cone é um sólido formado por uma base circular e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. A planificação do cone apresenta um setor circular e um círculo, como mostra a figura a seguir:

Planificação dos cilindros

A figura a seguir mostra um exemplo de cilindro.

O cilindro é um sólido formado por duas bases circulares congruentes e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. Essa figura pode ser compreendida como um retângulo ou um paralelogramo que foi “enrolado”.

A figura a seguir mostra a planificação de um cilindro.

Obs.: Todas as planificações apresentadas buscavam mostrar um exemplo de como a planificação pode ser apresentada. Vale dizer que a posição dessas figuras pode variar de acordo com o problema, intenção do autor etc.

Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros. Platão buscava explicar a criação do Universo a partir da geometria e associava esses sólidos geométricos a elementos da natureza. São classificados como sólidos de Platão o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Todos esses cinco sólidos são poliedros regulares, ou seja, possuem arestas e faces congruentes.

Leia também: Classificação dos poliedros

Quais são os poliedros de Platão?

Platão foi um filósofo grego que deu grandes contribuições para o desenvolvimento da matemática.

Os sólidos ou poliedros de Platão é a forma como são conhecidos os cinco sólidos estudados a fundo por ele e seus seguidores. Cada um eles era associado a um elemento da natureza.

→ Tetraedro

O tetraedro é o mais simples dos sólidos de Platão por ser o poliedro regular com o menor número de faces possíveis. Platão associava esse sólido ao elemento fogo. Ele possui quatro faces no formato de um triângulo equilátero, quatro vértices e seis arestas. Ele é conhecido também como pirâmide regular.

→ Cubo

O cubo, que possui faces quadradas, é um poliedro regular com 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Ele era associado ao elemento terra por Platão e também é conhecido como hexaedro regular.

→ Octaedro

Associado ao elemento ar, o octaedro possui 8 faces no formato de um triângulo equilátero, 12 arestas e 6 vértices.

→ Icosaedro

Representando o elemento água, o icosaedro é um poliedro que possui faces triangulares. Ele possui um total de 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

→ Dodecaedro

Considerado o mais harmonioso dos poliedros por Platão, o dodecaedro era associado ao Universo ou cosmo. As suas faces são pentagonais, e ele possui 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Leia também: Geometria espacial – o estudo dos objetos tridimensionais

Fórmula de Euler

Euler percebeu uma relação – não só para os poliedros de Platão, mas para qualquer poliedro convexo da geometria espacial – entre o número de faces, vértices e arestas. Em um poliedro qualquer, podemos relacionar esses elementos pela seguinte fórmula:

• V→ número de vértices;

• A→ número de arestas;

• F→ número de faces.

Essa fórmula nos permite encontrar qualquer um dos três elementos de um poliedro, conhecendo-se os outros dois.

Exemplo

Sabendo que um hexaedro possui 8 vértices e 12 arestas, verifique se a relação de Euler é válida nele.

Resolução:

Sabemos que V – A + F = 2.

V = 8

A = 12

F = 6

Vamos verificar se V – A + F é realmente igual a 2 para que a relação seja válida.

8 – 12 + 6

– 4 + 6

2

Logo, a relação de Euler é válida para o hexaedro.

Exercícios resolvidos

1) Um poliedro convexo possui 8 faces e 16 vértices. A soma do número de faces, vértices e arestas é igual a?

a) 22

b) 26

c) 42

d) 46

e) 48

Resolução:

Primeiro vamos encontrar o número de arestas:

V – A + F = 2

16 – A + 8 = 2

24 – A = 2

24 – 2 = A

22 = A

Agora vamos somar: V + F + A = 16 + 8 + 22 = 46.

Alternativa D.

02) Um poliedro convexo tem 5 faces pentagonais e 3 faces triangulares. Qual é o número de arestas desse poliedro?

a) 34

b) 17

c) 25

d) 32

e) 64

Resolução:

Como ele possui 5 faces pentagonais, cada face pentagonal possui 5 arestas.

5 x 5 = 25

Analogamente, cada face triangular possui 3 arestas.

3 x 3 = 9

Agora vamos realizar a soma 25 + 9 = 34. Como a aresta é o encontro de duas faces, estamos contando cada aresta duas vezes. Para eliminar a repetição, vamos dividir por dois, 34 : 2 = 17.