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ra se haya hallado: y que no es posible haber otra con que mas se ajuste, y es como se sigue. Dada una superficie quadrada , cuyo lado no sea racional en longitud, haliar su lado mas propinquo. Este problema es manifiesto, quando el lado es racional, por la quarta proposicion del libro segundo de Euclides, la qual propone, que si una línea se divide , como quiera que el quadrado de toda ella es igual á los quadrados de los fomentos, y á dos rectángulos comprehendidos de las dichas partes. Propóngase un número quadrado, como es 144, cuyo lado es racional, como es en la presente deniostracion A. D, A B El lado A. B. de la qual su quadrado próxime menor es 100; y su lado 10, que es el lado A. E, dobla la misma A. E, por los dos rectángu los, que se contienen de las G F dos partes, y hacen 20; divídanse los 44 , que hay de 100., quadrado menor, á 144, quadrado mayor , por los 20, С D y caben á 2 valor de linea E B, y G. C, y sobran 4, valor del quadrado menor FD, y en la dicha figura quadrada A. D, que vale 144, cuyo lado es 10 y 2, en que están divididos los quadrados, , que son 100 y 4, y los dos rectángulos, que ambos juntos valen 40, todo sumado, hacen los 144 quadrado mayor. Mas si la area dicha quadrada riene su lado irracional, la capacidad del qual, que es A, B, C, D, que solamente en potencia es racional, cuya capacidad sea 3856, del qual conviene hallar su mas cercano lado, del qual quadrado próximo menor es 3844, cuyo lado es 62, y sobran 12, que en la presente demostracion será el nonmon G,D, y estos 12 se han de añadir nonmonicamente al quadrado A E, sacando el valor de qualquier de los lados, que al lado haya G, se aumentan , las quales partes, para que la division sea mas precisa, dividiré en 60 ininu Page 3
res, y van procediendo ; así que en nuestro exemplo la raiz quadrada de 3856, habiéndole añadido quatro pares de cifras, serán 62 partes enteras : cifra decenas , 9 cente 6 millares, 6 decenas de millares. Y si se quisiere reducir á grados, minutos y segundos, como estan en el primer exemplo, multipliquense los c996, que salieron de faiz en la decupla proporcion por 60 , y de lo que procediere se sacarán las propias letras que primero , y lo que queda á la mano derecha son segundos; y así se procederá, y no muchas veces, porque cada vez se pierde algo, como en el exemplo. Multiplico los 0996 por 60, y salen у 57950, de los quales saco quatro letras, porque fueron quatro letras, las que se multiplicáron ; y quatro pares de cifras las que se añadiéron , y quedan s , que serán minutos; y vuelvo á multiplicar los 7663 por 6), y salen 47.7610, de los quales , quitando las quatro letras, que dan 47 segundos, que son los propios que en el primer exemplo salieron , un seguindo menos. Y aunque esta dicha demostracion está fundada en la quarta proposicion del segundo libro de Euclides, no le co nete del cudo, por no decir la proposicion mas de quando la propuesta línea se divide en dos partes; mas si se divide en tres , quatro, ó, mas partes, como en nuestro exemplo lo está la línea A, B, que lo está en tres partes, digo en nú neros, que si un número , ó línea se partiere en qualesquier partes mas que dos, que el quadrado de toda ella es igual a los quadiados hechos de todas las partes de ella, y. a otros tantos rectángulos , duplicados de las partes de la línea en lo remanente de ella, un rectángulo duplicado menos. En esta manera sea la línea A B , que valga 12, сnyo quiadrado valga 144, y esté dividida en quatro partes, que es en 2., 3, 4, 3, los quadrados de las quales partes son ,como parece en el exemplo 4,9, 16, 9, y los rectángulos duplicados valen el del 3 en lo remanente, que es 9. valeņ:54; y los del 4, en svalen 40, y los de 3 . en 2 vale i 12., que todo junto es 244 , que es tar to como el quadrado total de 12; y lo mismo será que los rectángulus se tomen comenzando de qualquier número. Sus Page 4
en medio de los dos extremos, tendrá por antecedente al 7, y por conseqüente al 11, y quedarán puestos en esta órden 7, 9, 11, los quales tres términos suman 27, que es 7,9 el cubo:y los números impares que le componen son de la tercera particion , y semejantemente 12s es número cúbico, cuya raiz cúbica es 5 , y de tantos términos de números impares es engendrado el dicho cubo; pues potencia, o quadrado de 5 es 25 : este 25 es el un término , y el de en medio de los que componen el cubo; y los dos números impares sus antecedentes son 21 y 23, porque los otros dos números son 27 y 29 conseqüentes inmediatamente al 25,y quedarán ordenados, así: 21, 23, 25, 27, 29, los quales sumados montan 125, que es el cubo, y son los términos de la quinta region, ó particion. Otrosi conviene notar , quando la raiz cúbica fuere número par, como la raiz de 64, que es 4: mira qual será la potencia y quadrado de 4, y es 16:á este quadrado añádele I, conviene á saber, la mitad del exceso de la progresion de los números impares, y son 17, y al mismo 16 quitale tambien 1, conviene á saber , por la otra mitad del exceso de la dicha progresion de los números impares, y. serán 15, y así dirás , que is y 17 son los dos términos, 15 y los de en medio; y los otros dos términos son 13 y 19, porque son los mas propinquos impares , y el 13 antecede al 15, y el 19 sucede al 17 inmediatamente ; y puestos en órden los quatro térininos de números impares, quedan así, 13, 15, 17, 19., la suma de los quales compone este número 64, que es cubo, y son los quatro números impares de la quarta region, ó particion : y por este modo te regirás en los semejantes. Distincion de los números sólidos, los quales son llamados
Nota, que todo número cúbico es número sólido; em
pero no todo número sólido , será número cúbico ; porque todo número sólido procede , y es engendrado de la multiplicacion de tres números lineales unos por otros; y si los tales números son todos desiguales , ó alguno de 14 ellos Page 5
estos dos números 30 y 300 , los quales asentarás en esta forma: los 30 primero , y 300 debaxo ; y asentarás el 6, que sacaste por primera raiz al lado izquierdo de los 30, y debaxo del mismo asentarás su propio quadrado , ó potencia, que es 16 ; conviene á saber , que el 6 y el 36 antecedan a los 30 y á los 300, -30 36 -300 Hecho esto, toma una letra, la que mas te pareciere, por segunda raiz, y sea 4, y este 4 primero, que lo asientas deliberadamente por raiz entre las dos líneas, has de tantear si cabe tan grande letra , ó si ha de ser mayor , la qual asentarás conseqüentemente adelante de los 306, Y. despues asentarás su quadrado, que es 16 , encima, así. 30 16 36 300- 4 Estando en este término , notarás bien, que las dos letras que son raices, como 6 y 4, estan en cruz dispuestas al contrario la una de la otra, y así sus quadrados, que son 36 y 16 estan en contrarios, como has visto: ahora multiplica los tres números de arriba unos por otros, como 6 veces 30 que hacen iso, y 16 veces 180, proceden 2880: este es el primer partidor que se pretende : ponle aparte. Ahora multiplica los otros tres números inferiores unos por otros, como 36, 300, 4, y procederán de la tal multiplicacion 43200: este es el segundo partidor: ponle aparte con el primero que guardaste ; y el tercero partidor es cubo del4; conviene á saber, 64; porque proceden de la multiplicacion del 4 por 16, que es su propio quadrado; los quales partidores son los siguientes, y sumarlos has así. Primero partidor 2880 Segundo partidor 43 200 Tercero partidor
La qual dicha suma se ha de asentar debaxo de las dos líneas , y restarla de la cantidad que está viva en el pri Page 6
notas, ó cantidad principal de quien sacamos la raiz.
Regla para sacar la raiz cúbica mayor de qualquier número, N ota : Quiando hubieres de sacar alguna raiz cúbica de número que no fuere racional, no te fatigues porque sobre alguno , lo qual es cosa forzosa quedar en las sobras alguna cantidad, siendo , como dicho es, número que no es cubo, porque nunca vendrá a perfeccion ; mas para saber la raiz mayor, poco mas , ó ménos, sacarás primero la letra , ó letras que tuvieren por raiz ; y si algo sobrare , asentarás lo que sobra encima de una línea, y debaxo asentarás por denominador el triplo de toda la raiz, multiplicado con la misma raiz, y un punto mas, y á lo procedido añadir un punto , ó una unidad. Exemplo. La raiz mayor de 40 es 3 , porque el cubo de 3 es 27, para 43 réstan 13 , asiéntalos así 3. Ahora el triplo de la raiz es 9 multiplicado por 4, conviene á saber, por la misma raiz, y un punto mas, proceden 36, añade uno por regla general, son 37: este conjunto es el denominador que se pretende ; y dirémos, que la mayor raiz de 40 es 3t}, y por esta regla digo, que la raiz cúbica de 40 es 311 vos, que es tanto como 4 enteros ; y es muy buena regla de aproxîmar una raiz cúbica indiscreta en longitud, que comunmente llamamos raiz sorda , porque no se puede pronunciar discretamente de otra manera , sino decir raiz cúbica 40 , ó raiz cúbica de 40. Avisa notable. uardo hubiéremos sacado una raiz cúbica de qualquier cantidad, si las sobras fueren mas que el triplo de la raiz, multiplicado por la misma raiz, y un punto mas , que quiero decir, el triplo de la raiz multiplicado por raiž del mas propinquo cubo al producto, añadiendo una unidad, en tal caso no estará bien sacada la tal raiz ; y si el nombrador del quebrado fuere igual con el denominador , será un entero mas, segun dixe en la extraccion de la raiz quadrada. Nota , que para sacar la raiz cúbica de los números Page 7
respecto del 5 , que está mas adelante, é inmediatamente discurriendo hácia mano derecha , y así considerarás dos letras juntas ; conviene á saber , 65, pues de 6s quitando á 9 veces 7 restan 2: ahora este 2 le considerarémos que vale 20 respecto del 6, que está en la unidad, y considerarémos dos notas juntas ; conviene á saber , 26, pues de 26 sacando los sietes restan s unidades; de estas s unida des solamente se hace cuenta en esta difinicion para notarle frente de la propia partida, con una raya que lo divida , ó- distinga de las otras quatro notas, segun en el exemplo lo puedes ver. Ahora saca los sietes de la segunda partida por la misma órden; y porque de la primera nota, que es s, no se puede quitar 7, considerarás dos notas juntas; conviene á saber, so: quitando 7 sietes resta 1: este i con el 6 que sucede al cero, le considerarás 16, pues quitando los sietes restan 2 : este 2 con 4 que le sucede en la unidad, dirás que son 24 , cuya prueba es el 3 , porque en 24 caben 3 veces 7, y restan 3 unidades, el qual dicho tres le notamos fuera de la segunda partida, y debaxo del s que S fué la prueba de la primera partida. Ahora por la misma órden hallamos que la prueba de la tercera partida es s, y la prueba de la quarta es 2, y de la quinta es s,como parece notado delante de las partidas del exemplo presente. Ahora sumarás llanamente las seis notas, que fueron las pruebas; conviene á saber , 5 , 3,5, 3, 2 y 5 , y montan 23, de los quales quita 3 sietes, y restan 2 unidades: pues asienta 2 en el un brazo de la cruz, como lo hemos notado por exemplo; y así dirás, que sacando todos quantos sietes pudiste de las seis partidas que quisimos sumar, restan 2. unidades. Otro 2 hemos de hallar en la suma con la misma condicion para estar bien sumada ; y porque en ella se hallara que la prueba es 2 , está verdadera , y así notamos 2 en el otro brazo de la cruz , segun has visto. Nota , que este artificio que has visto en la prueba del 7 es mas firme que la prueba del 9, que hicimos simplemente en el primero exemplo; porque en esta difinicion, si en la suma faltara algun cero, ó fuera puesto otro demasiado, no diera 2 en la prueba ; y aunque las notas estuvie. V 3 Page 8
tan 3 sexmas: por tanto notamos 3 en la cabeza de la cruz, y la prueba del inultiplicador es un entero, notamos al pie de la cruz: pues multiplicando i por 3 procede 3 , el qual 3 le notamos en el un brazo de la cruz, , y podemos contemplar tres sexinos, ó Ź, y otro medio, ó ó tres sexmos ha de concurrir en el otro brazo de la cruz, producido y engendrado del producto, ó suma de todos los 3462 reales, sacando los sietes; con tal condicion expresa, que la cantidad de reales enteros , que quedaren en la unidad, se reduzcan á sexmos; conviene á saber, por la multiplicacion del 6, que es la denominacion de la sex. ma y del producto : sacando los siete sexmos que fuere posible, han de quedar tres sexmos, como estan notados en los brazos de la cruz, y son semejantes; porque la prueba de los 3462 son 4 reales, pues 4 veces 6 son 24: fuera 7 quedan 3, y estos 3 son sexmos de la misma naturaleza que pretendiamos. Nota, que si acaso la prueba de los reales producidos en la suma fuera 3, no pudiera estar la cuenta bien sacada ; porque en tal caso las dos notas de 3 y 3 concurrentes en los brazos de la cruz, no fueran cantidades iguales; porque la primera que se asentó es 3 sexmos, y la otra z enteros ; y así conviene forzosamente, que la prueba de los enteros procedidos de toda la multiplicación, se reduzcan á la especie de la denominacion del quebrado, y del producto quitar los siete, como dicho es. Mira bien en ella, y considera el ar у tificio de estas pruebas, que son fáciles de entender, y breves de hacer, y que yo certifico te hallarás muy bien con ellas, porque yo las acostumbro en mis cuentas, y excuso con ella la prueba real. Otro exemplo de probar por el 7 , y sea la cuenta siguiente, que es multiplicar 32 # por 29 , y proceden § 946 justamente, sin proceder ningun quebrado , lo qual pocas veces acontece; y por esto es muy notable esta prueba en semejante caso, pues la prueba de la suma multiplicadera es 3, y son quartos: dispónense encima de la cruz; y la prueba del multiplicador es 4, los quales son tercios, cuya disposicion es al pie de la cruz. Aho Page 9
Hemos notado la prueba del cociente, que es 2 en la cabeza de la cruz, y la prueba del partidor, que es cero al pie de la cruz, y hemos multiplicado el cero por el 2, y 2 á lo procedido, que tambien es cero, hemos juntado una unidad; conviene á saber , la prueba de las sobras, y es i, el qual notamos en un brazo de la cruz , y otro i semejantemente concurre en el otro brazo de la cruz, sacando el 9 de la suma partidera, y está probada la tal particion por la prueba ordinaria del nueve. Prueba del siete del mismo exemplo. 00 11(9 900 0019/1 Suma partidera 19000 191 el cociente. El partidor 99. 9999 99 Hemos notado la prueba de las sobras, que es cero, en la cabeza de la cruz por memoria, porque si fuera letra significativa, se habia de sumar con lo procedido de la multiplicacion de las dos notas, que concurren encima de los brazos de la cruz, que son 2 y 1; conviene á saber, que las dichas notas son las pruebas del partidor , y del cociente; conviene á saber, i vez 2 es 2, y así notamos dos unidades sobre el brazo de la cruz, y otro 2 es la prueba de la suma partidera , el qual notamos debaxo del otro brazo de la cruz; y porque las dos notas inferiores son semejantes, queda bien probada la particion por la prueba del 7 ordinaria. Nota , que si del producto de la prueba del cociente por la prueba del partidor se pudiera quitar siete, ó sie, se quitaran, y de la resta solamente se habia de hacer cuenta, y notarse debaxo del brazo de la cruz, como hicinios el 2. Síguese la orden de probar las extracciones de raices quadradas y cúbicas por la prueba del nueve y del siete. Prues Page 10
&c. y tal proporcion es dicha igual, ó de igualdad, porque su denominacion es la unidad ; quiero decir, que partiendo el antecedente, que es comparado á su consequente, que es a quien se compara, ó por el contrario, el cociente sea puramente uno: por lo qual esta especie de proporcion es dicha de igualdad, ó proporcion igual , y no tiene ogra determinacion, ni se puede dividir en otras es. pecies. Segunda division de la proporcion racional. desigualdad, y en proporcion de menor desigualdad. especies ; conviene á saber, en proporcion de o Proporcion de mayor desigualdad es quando se comparan dos cantidades de números de un género y naturaleza, en tal manera que el mayor se compara al menor, como comparando 2 para 1 , y 3 para 2 , 9 4 para 3. Nota, que coinparando 2 para 1, en tal caso el 2 es llamado antecedente, y el ses conseqüente, porque es a quien so compara, y semejantemente 3 para el 2, el 3 es anteces dente, y el 2 es conseqüente: y asi 4 para el 3, el 4 es antecedente, &c. Las quales proporciones y sus semejantes corresponden á la especie de mayor desigualdad. La proporcion de mayor desigualdad es quando se comparan dos cantidades de números de una nisma naruraleza, y que la menor se compara á la mayor; como come parando s para 2, y 2 para 3 , y 3 para 4, y 1o para 30, &c. Nota , que comparando i para 2, en cal caso el o que está dispuesto a nuestra mano siniestra, es antecedente, y el 2 es conseqüente, que es á quien se compara, y la propors cion que hay de 1 para 2 se llamará subdupla, que se entiende escar debaxo de dupla, ó en media proporcion; porque esta especie dicha de menor desigualdad, toma por instrumento, y se vale de aquesta sílaba sub; por manera, que si de a para i es dupla proporcion, siendo al contrasio 1: para 2 será la dicha subdupla: de 2 para 3 , será la dicha subsexquiáltera : de 3 para 4 subsexquitercia: de 4 para si subsexquiquarta ; y así en las demas semejantes, las Page 11
de otra vez , y así harás en las demas: quiero decir, que así como en este exemplo dixiste quarta, porque cupo un quarto, si viniera un quinto , dixeras quinta ; y si un sexto, sexta, y si sépcimo , dirás séptima. El quinto y último Multiplex superpartiens. Es quando el número mayor contiene en sí al menor mas que una vez, y mas de una sola y mas de una sola parte del número menor, como 8 á 3, vendrán 2 y }, y será proporcion dur y pla suberbipartiens tercias. Nota , que el principio del nombre de este género se toma del cociente entero ; el medio siempre es super, y luego el nombre de lo que so sᏅ bra compartiens al cabo , y el fin se toma del nombre del número menor. Advierte, que lo mismo que has hecho en los enteros, harás en los quebrados : todavía partirás el mayor por el menor, y el cocience te dirá la denominacion de la proporcion, como á j. Parte, y vendrá el cociente á ser i, yé, y será sexquiocrava del segundo género, llamado superparticular. Para conocer qual proporcion es mayor. Nota con Euclides en el 7, que aquellas proporciones son iguales, que tienen igual denominacion, mayor quando mayor, y menor quando menor, como una quádrupla es mayor que una tripla ; porque la denominacion de la quádrupla es 4 , y de la tripla es 3 , y así como 4 es mayor que 3 , así es la quadrupla mayor que la tripla, y la quintupla mayor que la quadrupla. Un medio geométrico entre dos extremos. Para hallar un medio geométrico entre dos extremos, multiplica el un extremo por el otro, y la raiz quadrada del producto será medio entre tales dos extremos. Exem-plo. Entre 8 y 2 qual será su medio? Dirás 2 veces 8 son 16, cuya raiz quadrada es 4: este dirás ser niedio entre 2 y 8, y vendrá una continua proporcion de 8,4, Dos medios geométricar. Para hallar dos medios entre dos extremos, tendrás esta regla general: multiplica la potencia del extremo menos con el extremo quayor , y raiz cúbica del tal producto Page 12
la décima definicion, que si tres cantidades fueren propor- : cionales, la primera a la tercera tendrá doblada proporcion que á la segunda, se entiende así por el mismo exemplo : 25,5,1, en estos tres números la primera cantidad es 23, la segunda s; la tercera 1. Pues así como del 25, primera cantidad, al 5 , cantidad segunda, hay una proporcion quintupla , esa misina quintupla doblada , que es decir dos veces tomada, ó dos quintuplas proporciones, hay del 25, primera cantidad, al i tercera: de manera, que así como del 25., primera cantidad, al s segunda , habia una proporcion quintupla , así del mismo 25 als , tercera cantidad, hay dos proporciones quintuplas ; y eso quiere decir esa definicion ; y no como algunos la entienden, que si como del 25 al s hay una quintupla, y hay del 25 al 1 doblada proporcion que la que tenia al s, que habrá del 25 al i una de s cupla , que es una quintupla doblada, lo qual es falso; pucs el 25 al i no le contiene diez veces, sino 25, y así esta definicion se ha de entender como está dicho :y lo misnio en la undécima del mismo libro quinto de Euclides, donde dice, que si quatro cantidades fueren proporcionales, que la primera a la quarta tendrá triplicada proporcion que á la segunda , y así una mas, mientras mas la proporcion fuere , como entre estos quatro números puestos en proporcionalidad geométrica , 32, 16, 8, 4, , que así como el 32, primera cantidad, al 16 , segunda cantidad , tiene proporcion dupla , así el mismo 32, primera cantidad, al 4 , quarta cantidad, tendrá tres proporciones duplas de aquellas que del 32 al 16 habia una dupla , las quales proporciones duplas se entienden así: del 32 al 16 hay una dupla, y del 16 al 8 otra dupla, que son dos duplas, y del 8 al quatro hay otra dupla , que son tres proporciones duplas : luego del 32 hasta el 4 hay tres proporciones duplas de aquellas que del 32 al 16 habia una proporcion dupla ; y lo que dice en la misma definicion, que siempre habrá uno mas, mientras mas fueren las proporciones, se entiende así : que si hubiere cinco cantidades que sean proporcionales, la primera á la Page 13
QUE TRATA DE LA REGLA DE TRES; de su definicion y operacion. Por or ser esta regla la primera de las compuestas , me detendré, y trataré un poco de lo mucho que hay que decir acerca de esta materia , cuyo sugeto es preten. der y buscar un oculto número por la noticia de tres ná: meros notables y manifiestos : el primero de los quales es la cosa comprada , ó vendida : el segundo es el precio y valor de aquella cosa :.y el tercero número es la otra cosa en cantidad mias, ó ménos, que hemos comprado, ó queremos comprar del mismo género y condicion de la primera cosa, y queremos saber lo que valdrá al respecto de aquella : y este tercero número es la segunda causa ,ió cosa comprada, ó que queremos comprar segunda vez: el valor y precio de la qual, puesto que aun no lo sabemos, mediante la práctica siguiente lo alcanzarémose. Si tres melones me qikestan dos reales, doce melones qué me costarán ? Estando formada la regla de tres del modo que aquí he propuesto, está bien ordenada para alcanzar lo que deseamos ; conviene á saber, aquellos reales que valdrán los doce melones. Manda la regla de tres multiplicar el número de en medio, que es 2, por el tercero, qus es 12 ó 4 la contra, y lo procedido, que es 24, sea partido á tres compañeros; conviene á saber , por el 3 , que es el número primero, y vendrán al cociente 8, y tantos reales costarán los doce melones, y quedará la cuenta acabada, como denotan estos quatro números proporcionales 3, 2, 12., 8. La definicion de la regla de tres es hallar un número quarto, co COmo has visto, q'e tal proporcion tenga con el tercero námero, que es su antecedente, como el segundo número con el primero, como parece en los dichos quatro núme ros; porque de 8 para 12 es proporcion qe menor des Page 14
siniestra , y los 100 énmedio, así: 120, 100, 12, y estando destrocados los números, segun que has visto, dirás : si 120 me son venidos de 100, 12 de dónde me vendrán? *Multiplica 100 por 12 procederá 1200: parte este producto á 120 compañeros, y el producto será 10, y tanto me costó la pieza de lienzo. Por donde consta evidentemente, que con ellos gané dos ducados, que tambien es al respecto de 20 por 100, y quedarán así los quatro números: 10, 2, 100, 20. Por lo qual parece la proporcion del primero al segundo número ser igual a la del tercero para el quarto ; y es dicha quintapla proporcion del gé diximnos inultiplex en el capítulo de proporcio Exemplo quarto muy notable, En todas las reglas de tres, que hemos tratado, han sucedido diversos partidores, pero en el presente exemplo no solamente se ofrecerá un partidor, mas dos partidores de diferentes cantidades; porque se absuelve la pregunta, mediante la práctica de dos reglas de tres. Nora, que es la qüestion ias delicada de todas quantas pienso exemplificar en el presente capítulo. Vendiendo una mercaduría por 4 gano en ella â razon de 12 por 100, vendiendo por 8 á cómo ganaré por 100 No te parezca, que por vender al doblo de los 4, he de ganar no mas del doblo de los 12 por 100, que sería opinion falsa ; porque quando vendiese por 8 ganaría á razon de 124 por 100; y para que lo puedas entender , harás así. Mira primero quanto costó la mercaduría, diciendo: si 112 me son venidos de 100, 4 de dónde me vendrán? Multiplica los 100 por 4, y lo procedido, que son 400, parte á 112 compañeros , vendrán al cociente 3*, y tan 3 to valia mi caudal, y con ello gané } , que es á cumplimiento de 4 enteros. Guárdense aparte los } , que es la primera ganancia : ahora nira la diferencia de 3 4 á 8 enteros, y 'hallarás, que es 4 }, y estando en el término que has visto, ordenarás otra regla de tres, tomando por primera cosa los que guardaste, y dirás: si son ganados á razon de 12 por 100, 4 { á cómo serán ganados por Page 15
ó de tres nombres, &c. esto es, quando son de diversas na- Exemplo primero, en el qual se pretende ballar la ganancia.' Si con 24 ducados en 4 meses gano so ducados, con ISO Iso ducados, y en s meses, qué ganaré respectivamente? Parece que la presente qüestion es compuesta y formada de cinco números, y todos necesarios; digo necesarios, porque las causas principales de caudal y tiempo son de diferentes cantidades y desiguales de las últimas causas ; y entonces los dos números de aquellos propuestos fueran superfluos , é impertinentes, quando el primer caudal y el último caudal fueran iguales, ó estuvieran en propor- ·cion de igualdad; y semejantemente, quando el tiempo primero fuera igual con el último tiempo: y así no fuera llamada , ni sujeta á la regla de tres , dicha con tiempo. Empero la pregunta que aquí he propuesto, porque con- curren en ella diversos números, y desiguales cantidades, y difieren las primeras causas de las últimas, es dicha con tiempo, y es legítima ; porque la ganancia se dispuso en el medio de aquellos cinco números, como son los so duca- dos. La práctica de esto es multiplicar el primer número por el segundo; conviene á saber , 24 por 4, y proceden 96, y este es el partidor, el qual se dispone primero a nues- tra mano siniestra; y semejantemente 150 por 5 , proce- den 750, el qual número es semejante en condicios á los 96, por ser productos engendrados de caudal y tiempo Y cada uno de por sí; por lo qual pondrémos los Iso ducados de ganancia enmedio de aquellos, y quedarán todos los dichos cinco números traducidos en tres; y así dirémos nuevamente : si con 96 gano 50, con 750 qué ganaré, ó de dónde me vendrán? Estando en la disposicion los tres números que has visto, multiplica, y parte como manda la regla de tres ; conviene á saber , los 750 por 50, у Page 16
pliquen los tres números unos por otros, y lo procedido el que yo he puesto primero son verdaderos y firmes, aunque tambien se puede hacer, como у dice el propio Fray Juan, por multiplicaciones, para reducir los siete números á tres; empero con tal condicion, que al tiempo de disponer los siete números, no se noten mas bestias de las que cada hombre truxere de por sí; y porque en el presente exemplo cada qual trae una bestia, notarás un solo punto por ella, y quedarán los números de la forma siguiente: 2, 1, 2, 16, 4, 1, 4; esto es, que si dos hombres, con una bestia cada hombre, y en dos dias, ganan 16 reales, quatro hombres, con una bestia cada hombre, y en quatro dias qué ganarán? Sigue la regla, y ganarán 64 reales. Este modo es especial, que trabajando cada hombre con una sola bestia, viene bien; empero si trabaja con dos bestias, ó tres, ó mas, sería falsa. Page 17
Exemplo segundo. Si un haz de leña , de una vara de circunferencia , vale 17 Inaravedis , otro haz, que se ciñe con dos varas, quántos maravedis valdrá? Dispon las tres casas así : 1,17, 2. , Bien ves, que la potencia del i es puramente la unidad, y y la potencia de 2 es 4 ; pues dí por regla de tres : si i vale 17 , 4 qué valdrán? Multiplica 17 por 4, procederáni 68, y asi diras, que valdrá 68 maravedís. En esta práctica se excusa la particion; porque partiendo 68 á un solo compañero , vendrán al cociente puramente los mismos 68, y quedarán los quatro términos así : 1, 17, 4, 68. Nota, que de 4 para i es proporcion quadrupla, y la misma pro y porcion es de 68 para 17 , y está verdadera. Exemplo tercero. Si un paño de corte quadrado, que tiene por qualquier lado cinco anas , vale 30 ducados, otro paño de la misma tapicería semejantemente quadrado, que tenga seis anas y media , qué valdrá ? Quadra el 5, y serán 25, y semejantemente el 6 y Ź, cuya potencia y quadratura es 42 43 empero los 30 ducados queden firmes , los quales pondras en medio de las dichas potencias, así : 25, 30,424. Estando los tres números en esta disposicion, sigue la regla da tres , y vendrá á valer el paño de 61 anas por lado so dacados, y mas t' de otro ducado. Nota , que los 4 valen 7 reales, y 24 maravedís y medio; mas si alguno de los dichos paños, ó todos fueren de desiguales lados, en tal caso multiplicarás primero los dos números lineales de cada paño de por sí ; conviene á saber, ancho por largo, . y en lo demas seguirás la regla dicha : aunque en semejante caso mas propiamente se puede hacer esta pregunta por regla de tres con tiempo. , Por estas reglas quadradas podrás considerar y entender las cúbicas, que no hay otra diferencia , sino quadrar, ó cubicar los números primero; y antes de formar la segla de cres, conviene saber , que en las quadradas has de quadrar, y en las cúbicas cubicar , para saber la diferencia y proporcion de los tales cuerpos cubos, en quanto es cantidad , peso y medida ; empero en el precio y estima cion Page 18
Partidor comun 943 Nota , que en esta compañía anduviéron 2 maravedís sobrados, que no se pudiéron repartir proporcionadamente entre aquellos quatro compañeros; empero con piedad se les puede dar una blanca mas á cada ano, sin atencion, ni respeto de los puestos principales que pusiéron. Y asimismo has de notar, que la suma de todas aqueHas sobras, que fué 1896, contienen dos veces al partidor comun integralmente, sin quedar cosa alguna en la particion, como has visto, que concurren ceros encima de todas las figuras ; porque si sobrara un solo punto en la unidad, ó en la decena , ó en el grado de la centena , ó en el millar, &c. en tal caso estuviera la cuenta errada. Y ultra de esto es de notar , que en semejante regla de compañías no pueden quedar en las sobras tantos quebrados, que se engendren cantos enteros, como son los compañeros; porque si los compañeros son quatros , pueden quedar por repartir tres enteros, ó dos, ó uno; y si fueren ó diez compañeros, pueden quedar nueve enteros, у desde nueve abaxo; aunque si por yerro sebraren mas números enteros, que los compañeros son, podrá ser que no esté la culenta errada ; empero no estará acabada la particion, y será menester tornar á repartir aquellas sobras entre todos los compañeros proporcionadamente.
Tres Exemplo tercero. res hombres hicieron una casa, por la qual les diéron 36000 maravedís; y es así, que el primero trabajo en la casa un mes y medio , y el segundo trabajó tres semanas, y el tercero trabajo diez dias. Pregúntase quántos mirave sís ha de haber cada hombre de aquellos, respecto del tiempo q:1e trabajo. Ante todas cosas es de saber, que la Page 19
superpartiens en el capítulo de Proporciones. Exemplo quinto de compañías extraordinarias. Tres hicieron compañía, en que ganaron 144 ducxdos. Puso el primero 250 ducados, y le cupo de la ganancia 34 4. Puso el segundo 350 ducados, y le cupo de la ganancia 48. Puso el tercero una pieza de terciopelo, y le cupiéron 61 ducados, ultra del valor de su terciopelo. Pregúntase aquí en quántos ducados fué apreciada la dicha pieza ? Esta pregunta , y las semejantes se absuelven por una regla de tres, tomande por fundamento , ó causa la razon del puesto, y ganancia de algun compañero antecedente al que puso la dicha pieza de terciopelo ; y en la presente tomarémos la ganancia y puesto del segundo, que es mas acomodado, porque son números enteros, diciendo : si 48 ducados me son venidos de 350, 350, 61į de dónde me vendrán? Multiplica los 350 por 61, proces đerán 21600: estos partirás á 48 , y vendrán al cociente 450; y así dirás, que la pieza de terciopelo fué puesta en la dicha compañía por 450 ducados. Exemplo sexto de compañías extraordinarias, Tres hicieron compañía, en que ganáron 420 ducados: lo que puso cada uno de por sí no se sabe; empero sábese, que el primero y segundo juntos, sin el tercero, pusiéron у 60 ducados : el segundo y tercero juntos, sin el primero, pusieron 80 ducados; y semejantemente el tercero , y primero jantos, sin el segundo, pusiéron 70 ducados. Pregúntanse aquí tres cosas : la primera es quanto pusieron todos: la segunda es quanto puso cada uno singularmente; y la tercera y última es quánto ha de haber de la ganancia cada compañero. Harás asi. Suma primeramente los tres núineros notables ; como 60, 80 y 70, son todos 210: estos partirás á dos compañeros ; conviene á saber, por uno menos que los compañeros son ; y porque en la presente son tres compañeros, has de partir à dos por regla firme. La causa de ello es, porque hicimos mencion en cada número de los manifiestos solamente del puesto, y Page 20
lo qual dirás por regla de tres ; si 25 me sou venidos de 12 , falsa posicion , de dónde ine vendrán 150? Multiplica y parte como manda la regla de tres , y vendrán 72. Y ahora responderás , que 72 es el número demandado. La prueba es juntarle 36, que es su mitad, y 24, que es su ters cio, y 18, que es su quarta parte, suma y monta 150. Nota, que la definicion de esta regla es tomar un número falso por instrumento fundamental , por el qual rastreanos X descubrimos el número verdadero, y deseado que pres tendemos. De manera, que primero usamos del número doceno, y despues usamos de la regla de tres, mediante la qual alcanzamos el número que antes era oculto. Tambien es de notar , que algunas veces, aunque raras, acontecerá tomar por falsa posicion el número verdadero, no sabiendo que aquel fuese, porque el tal acontecimiento es.acaso
U. Exemplo segundo de sumar por una posicion. n hombre llamó a otro viejo de los cien años, y respondió el que fué llamado : No tengo ciento ; empero con los que tengo, y otros tantos , y con la mitad , el quarto de los que tengo, y un año mas, tuviera ciento, Pregúntase quantos años tenia de presente el que fué notado de viejo? Tomarás por fundamento, y falsa posicion el número quaderno, que es el menor número que ciene mitad y quarto, cuya mitad es 2 , el quarto es i, que son 3 , juntos con el duplo de 4 montan 11 ; y porque tú quisieras fueran 99, dirás por regla de tres : si ir me son venidos de 4, falsa posicion, de donde me vendrán 99? Multiplica 99 por 4, procederán 266 : parte estos á 1, vendrán al cociente 36, y habrás hallado, que tenia 36 años de edad. Pruébalo, doblando 36, que hacen 72, á los quales junta 18 y 9, que es s, partes aliquotas de 36, y montarán 99, añade 1, como dice la qüestion, y suman ciento. Nora, que no fué necesario en la regla de tres tomar por número tercero los ciento cabales, ni añadir uno á los 11, que fué el número primero de la dicha regla de tres ; porque es causa superflua en semejante caso, y no pudiera salic buena la cuenta, que estas falsas tie Page 21
Ahora multiplica 57, que es la primera diferencia, por 6, segunda posicion, procederán 342: estos asentarás adelante de los 57 con un punto, ó línea en medio , de manera, que haga distincion de los números; y por la misma órden multiplicarás la primera posicion, que es 4, por la segunda diferencia, que es 45 , procederán 180: estos se asentarán delante de los dichos 45 de esta manera. Primera posicion 4 ménos 57—-342. X Segunda posicion 6 méhos-45-180. Y porque ambas à dos posiciones al presente dicen ménos , restarás la menor diferencia de la mayor; conviene á saber 45 de 57 , restan 12: este número doceno será tu partidor, y semejantemente restarás 180 de 342 , queda 162: esta es la suma partidera : parte 162 á 12., el cociente será 13 d. Ahora responderás ,' que trece maravedís y medio es la parte del primero, la del seguindo 30, que es el duplo de 13 1 , mas 3 maravedís, y la parte del tercero es 35 , porque son s maravedís menos del triplo que lleva el primero ; y ahora que tienes visto lo que pertenece a cada compañero proporcionadamente, segun la demanda propuesta , pruébalo, sumando 13 ,30,35 1,y. montará todo 79. Modo breve para responder a la misma demanda, ?; Porque el primer compañero ha de llevar una parte, notarás i, y por el segundo notarás 2, con la señal de 3 mas; y porque el tercero ha de haber tres tantos que el primero , 's rénos, notarás 3 ménos s , y quedarán puestas ça práctica de la forma siguiente. Por el primero' I Por el segundo 2' mas 3 u! Por el tercero. ménos s.
Suma 1, 2, 3, montan 6: este número 6 es tu partidor: ponle aparte, hasta que halles la suma partidera; y aunque te parezca que es 79, no los partas; empero quita 3, restarán 76: suma con ellos s,montan 81: este númc Page 22
partido, empero propuso en sí mismo ahorrar un ducado justamente, al fin del tiempo. Pregúntase quántos dias ha de trabajar , y quantos hará de fallas , para salir con el ducado que pretende al cabo de los 30 dias? Pon que trabajase 8 dias, y huelgie 22, mira quánto valen 8 dias de trabajo á 100 maravedís, montan 800, y 22 dias de fallas à 20 maravedis, son 440 naravedis : resta lo que montan las fallas de los maravedís que montan los dias que trabaja, y queda 360; y porque tú quisieras 375 maravedís , q'ie es el valor de un ducado, asentarás por primera posicion 8 dias de trabajo menos 15 maravedís de los que pretendemos, porque is es la diferencia de 360 para 375, Ahora fiage por segunda posicion que trabajase. 9 dias, y holgase 21: nueve por 100 montan 900 maravedis: 21 dias de fallas á 20 maravedís, son 420, quita 420 de 900 , restan 480 : de este modo vienen los maravedis mas de los 375 que tú quisieras; y así asentarás por la segunda posicion 9 mas 10s con dos líneas en cruz de la forma siguiente. Primera posicion 8 ménos 15. X Segunda posicion 9 mas 105. Multiplica 9 por is, proceden 135: y semejantemente multiplica 8 por 105, procederán 840 : asienta por su órden los dichos dos productos, y quedarán de la forma siguiente. Primera posicion 8 ménos 15.-1350"
Segunda posicion 9 mas 105.-840. Y porque la una posicion es mas, y la otra ménos, sumarás los 15 con los 105, montarán 120: este número 120 será tu partidor, y la suma partidera seráel conjunto de 135 con 840, que montan 975 : parte 975 á 120, vendrán al cociente 8 ; y así dirás, que el peon ha de trabajar ocho dias, y un ochavo de otro dia, y ha de holgar 21 dias, y siete ochavos de otro dia, que son á cumplimiento de los treinta dias. La prueba es, que Page 23
dan 600. Pongamos que un número fuese 10, y el otro 15: porque de is para 10 es proporcion sexquiáltera , y multiplicando is por to, hacen 150; y porque faltan 450 para los 600, notarás por falsa posicion 10 ménos 450. . Tomemos ahora por segunda posicion 12 y 18, que tambien estan en la dicha proporcion ; pues multiplicando 18 por 12, proceden 2 16; y porque para los 600 falcan 384, aotaras por segunda posicion 12 ménos 384, y quedará así. Primera posicion Io ménos 450. . X y 38400, y quedará la figura dispuesta, así. El quadrado de la primera posicion 1oo ménos 450, 64800. X Ahora se ha de restar la diferencia menor de la mayor; esto es, los 384 de los 450, y quedarán 66. Este número 66 es tu partidor, y semejantemente restarás el producto menor del mayor, como es 38400 de los 64800, quedarán 26400', la qual resca es la suma partidera. Parte , pues, 26400 á 266, y vendrán al cociente 400: de estos 400 se á sacará la raiz quadrada, que es 20, y así habrás hallado, que el un número demandado es 20, y el otro es 30, porque si 2 valen 20, 3 valdrán 30; y así de 30 á 20 es proporcion sexquiáltera. Y para probar esta cuenta, multiplica 30 por 20, procederán los 600. Nota que si mandé sacar la raiz quadrada de los 400, fué porque se quadraron las dos posiciones, y realmente aquellos 400 que vinieren al cociente , son 400 censos, segun que por el dicho arte de Algebra podrás ver. CA Page 24
tomines, y aun sobrarán 300 partes del partidor ; y éstas 300 mulciplicarás por 12 granos , que tiene un tom.in, y procederán 3600: parte éstas á 450, que es nuestro firmie , partidor, y vendrán al cociente 8 granos, por donde pas fece que por ambos modos está verdadera la cuenta, porque la una reduccion puede servir de prueba de la otra, y la otra de la otra, Ahora puedes considerar, que si tomaste por partidor firme el nú nero 450 contenido en nuestro segundo modo, fué por proceder de los 22 quilates y medio, que tú quieres que tenga de ley cada peso de oro, porque 22 į vea ces 20 suman y montan 450. No dudes, que este número 20 tomamos por instru- . mento fundamental para hacer nuestra reduccion á pesos de buen oro, aunque no nos darán un quilate de oro por 20 maravedis, sin aquel interese acostumbrado de 4 maravedis por quilate, o 4 y nueva, ó mas, ó méros , segun corriere en la Provincia donde se celebrare la venta , que lo uno sale á 20 por 100, y lo otro á 21. * por 100; empero en las Indias suele correr tal interes á 25 por 100, y á 26 por too, y mas , ó menos, conforme los tiempos. ? Mas comprando qualquier cantidad de oro en aquellas partes por pesos corrientes , de á 9 reales, se compran y venden a razon de 175 por 100; es a saber, que por 100 pesos de buen oro se dan 175 pesos, de á 9. reales cada pe: 9 SO, ó ménos, segun se conciertan ; y así sale por 15 reales y tres quartillos cada peso, ó castellano del dicho buen oro: por lo qual parece conocidamente la ganancia que se tiene en traerlo á vender a estos Reynos de Castilla, donde corre al présente por 16 reales cada peso, y algo mas, ó nénos, segun la disposicion del oro, y crayendo el ensayo de buen ensayador; y este precio se entiende libre, sin quirar señorage, porque es costunibre pagarlo el Mercader en la Casa de la Moneda, quando lo entrega en el tesoro de ella, para hacer escudos por su cuenta, Y porque hice mencion del señorage, te quiero avia sar qué cosa es señorage: es un derecho, que se paga al Rey Page 25
Nota , que hemos multiplicado 24 & maravedis. por 15 quilates, ó á la contra 15 quilates.
Otro exemplo con mas quebrados, Un tejo de oro, ley 16 quilates y un grano, que pesa 540 pesos y 2 tomines, á precio de 24 maravedis y nueva cada quilate. Pregúntase, qué maravedís monta la partida? Mira primero los maravedís que vale un peso de la dicha ley, multiplicando 24 I maravedís por 16 quilates, ó a la contra. Nota, que dos tomines es la quarta parte de un peso de oro, y así procederán 394 7'maravedís : y habrás hallado, que cada peso vale trescientos noventa y quatro maravedís, y un diez y seisavo de otro maravedi, y no dexan este quebrado. Multiplicando los 540 pesos por 394 ; maravedis , procederán 212892 maravedís, y todo de otro maravedí, que es poco mas de nueva , cuya figura y práctica es la siguiente.
Nota , q11e hernos multiplicado 24 I maravedís.
Por la nueva 4 maravedís. 6
Vale un peso de la dicha ley
340 I pesos. 394 ts maravedís.
2160 4860 1620 33 į maravedís.
ALEACIONES Y LIGATURAS DE ORO.
Un hombre tiene dos-sueries- de oro, uno es de ley 17 primero. . quilates, y el otro es de 23 quilates : quiere hacer oro de 22 quilates de ley. Pregúntase, quánto oro tomará de cada suerte, para que juntas las dos cantidades, y ligada la una con la otra , sea oro de ley 22 quilates ? Dispon los núineros de este modo. Nuta, que los 17 es la ley del oro baxo, 23 y los 23 es la ley del oro alto ; empero los X 23 es la ley que tú quieres que tenga. Mira la diferencia de 23 á 22, y es 1: asienta I debaxo de los 17 que estan á tu mano siniestra; y semejantemente mira quánto es menos 17 que 22, у
y hallarás que es 5 : asienta s debaxo de los 23, y que- á 17 23 quilates : juntarás un peso de ley 17 quilates, X á ó á la contra, que á cada peso de 17 quilates sos, de ley 22 quilates : y esto denotan el i y el 5, que es proporcion quintupla. La prueba real es, que multiplicando 6 pesos por. 22 quilates, montan 132 quilates. Multiplica de por sí cada porcion del oro que comaste por su ley, como es 5 pesos por 23 quilates, y un peso por 17 quilates ; y sumando ambos productos, montan los mismos 132 quilates, y son iguales, como en esta figura parece. 23
Un hombre tiene 150 pesos de oro, ley 20 quilates y . un grano: quiérele juntar tanta cantidad de oro, ley 23 quilates y. 2 granos, que haga oro 22 quilates. Pregúntase, quánto tomará del de 23 quilates y 2 granos, para que juntos y ligados el oro de ambas suertes, sea de ley 22 quilates ? Dispon los números en figura de este modo.
20 quilates, 1 grano. 23 quilates, 2 granos. X Mira quánto es mas 23 quilates y 2 granos, que los 22 quilates, y hallarás quilate y medio, que son 6 granos: asienta 6 debaxo de los 20 quilates y un grano : y semejantemente mira quánto es menos 20 quilates y un grano, que los 22 quilates, y es 7 granos menos : asienta 7 debaxo. de la ley mas alta, y quedarán trocadas las diferencias, segun denotan las líneas de la cruz.
20 quilates, I grano. $23 quilates, 2 granos. X 6 7 Y habrás hallado, que a 6 pesos de oro, de ley 20 quilates y un grano: juntarás 7 pesos, de ley 23 quilates y. 2 granos; y para saber quantos pesos son menester paa ra todo el tejo, dirás por regla de tres: si para 6 son meHester 7, para iso quántos son menester? Multiplica ios por 7 procederán 1050: parte estos á 6 compañeros, y vendrán al cociente 175 pesos, y tantos tomarás del oro de ley 23 quilates y 2 granos, que juntándolos con iso serán 235 pesos, de ley 22 quilateso 2: 7 Nota, que para subir el oro baxo de ley á ley de 22 quilates, es menester ligarlo con otra suerte de oro de mas alta ley que los dichos 22 quilates que pretendes ; porque con la demasiada ley del un oro, y la falta de ley del otro venga un medio razonable, empero tomando de cada suerte de oro aquellas cantidades que la regla nos mostrare.... :", Tech
Exemplo tercero , que inuestra ligai el oro puro. Un hombre tiene 275 pesos de oro, ley 24 quilates cada peso : quiécelo (fundir y ligar con cobre, o con otro metal, de tal maneras, que haga oro de 22 quilates cada peso. Pregúntase , qué cantidad de liga es menester? Dispon los números de tal modo, que siempre por la li ga pongas un cero por regla ficme, como lo muestra la figura siguiente.
X Mira lo que es menos el cero que los 22 , y son los mismos 22 ; asiéntalos-baxo de los 24. Mira tambien quánto es mas 24 qie 22, y es 2: asienta 2 debaxo del cero, y habrás trocado las diferencias, y quedará la figu. ra de la forma siguiente.
Y habrás hallado, que para 22 de oro son menester 2 de liga, y para lt de oro i de liga; mas para saber la liga de todo, partirás 2751 II compañeros, vendrán al cociente 25 ; y tancos pesos de liga son menester, que suman las dos cantidades oro, y liga 30 pesos, de ley 22 quilates cada peso. .6: Otro; modo tenemos mas ordinario у breve li para gar el oro fino; y es multiplicar todos los pesos, ó casteIłanos por los granos que tiene de ley cada peso, y los : granos que procedieren partirás á 88 compañeros, porque 88 granos de oro fino componen un peso de 22 quilates de ley; y de los pesos que vinieren restarás todos los pesos de oro que así quisieres ligar, cuya resta , ó diferencia serán pesos de la liga que pretendes ; los quales serán suficientes para ligar aquella cantidad de oro que se ofreciere. Exemplo en la propia partida de oro. Multiplica 275 pesos de oro por 96 granos cada peso. Por quanto hemos propuesto que son de ley de 24 quilates cada peso, procederán 26400 granos de oro fino, los quales partirás á 88 compañeros; es á saber, porque 88 Page 26
granos de oro puro componen 22 quilates de ley, y ven- ó por onzas, &c. guardando la dicha proporcion. Declaracion de la regla de oro. Por or haber hecho mencion en el exemplo precedente, , que no queda religada aquella partida de 300 pesos de oro, te quiero enseñar qué cosa es religa. Y pongamos que sea un riel, ó lámina del oro fino, de 24 quilates de ley, y pesa un solo castellano, y quieres ligar y hacer oro de 22 quilates : habias de cortar de allí dos quilates de oro, y ponerlos aparte; y en su lugar habias de poner 8 granos de cobre, que es una cantidad igual con los dos quilates que cortaste; y así juntando 22 quilates de oro, y 2 de liga, hacen un peso entero de 96 granos. Ahora para ligar aquellos quilates de oro, que cortaste, y los pusiste aparte, es menester dos onzavos de quilate de cobre; y a estos dos onzavos llaman religa, porque con ellos se ligó aquella parte de oro que se corto del riel , y asívemos, que todo el dicho castellano de oro , puro, con la dicha liga y religa, suma y monta un castellano, dos quilates, y dos onzavos de quilate , que lo uno, y lo otro es de ley de 22 quilates por peso. Mas la, religa comun es echar un poco de mas cobre, por lo que suele mermar la liga principal en el fuego, y esto se entiende medio grano en cada castellano.
Exemplo quarto de ligar el oro, que no es tan puro como, U. el precedente. . gúntase , quántos pesos de liga son menester? Ordena, los números así. |
De um a cem quantos tem raiz quadrada redonda
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