Radical é o símbolo utilizado para indicar o cálculo de raízes. Quando falamos em simplificação de radicais, referimo-nos à utilização de algumas das propriedades das raízes para facilitar os cálculos que os envolvem.
As simplificações discutidas aqui serão divididas em alguns casos que serão expostos da seguinte maneira: primeiro, a propriedade dos radicias que permite a simplificação e, depois, um exemplo. Observe:
Caso 1 – Expoente e índice múltiplos
Quando os radicais apresentarem índices múltiplos do expoente do radicando (ou vice-versa), a seguinte propriedade dos radicais poderá ser utilizada:
Essa propriedade garante que índice e expoente podem ser multiplicados ou divididos por um número qualquer sem mudar o valor da raiz.
Exemplo:
Note que o número pelo qual o índice e o expoente do radicando foram divididos é 3.
Caso 2 – Utilizando fatoração
Para simplificar alguns radicais, basta reescrever o radicando como produto de fatores primos. Para tanto, fatore o radicando e observe o índice do radical. Supondo que esse índice seja 3, reagrupe os fatores primos encontrados em potências de expoente 3. Depois, basta utilizar a seguinte propriedade:
Esse caso é útil para simplificar radicais como os do exemplo a seguir:
Como x7 = x2·x2·x2·x, substitua o radicando por esse resultado e utilize a propriedade descrita acima.
Caso 3 – Raízes de frações
Quando for necessário simplificar uma raiz de algum número na forma de fração, utilize a seguinte propriedade:
Após cumprir esse passo, basta seguir com a simplificação de raízes para o numerador e para o denominador separadamente.
Caso 4 – Racionalização
Quando aparecem radicais no denominador, é necessário fazer a racionalização deles para prosseguir com a simplificação. Racionalização é o processo feito para criar frações equivalentes em que os radicais estejam apenas no numerador.
Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo:
Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3.
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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A regra é a seguinte: Se houver fatores iguais no numerador e no denominador, esses fatores podem ser cortados. Lembre-se: a divisão entre eles vai dar 1, o que não influencia uma divisão ou multiplicação. Como esses fatores simplesmente somem, esse processo ficou conhecido como “cortar”.
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Como simplificar a raiz quadrada de 40?
Reescreva 40 como 22⋅10 2 2 ⋅ 10 . Fatore 4 4 de 40 40 . Reescreva 4 4 como 22 2 2 . Retire os termos de dentro do radical. Qual é a raiz de √ 8? 8 não tem raiz quadrada exata. Não existe nenhum número que vezes ele mesmo da 8. √8 será aproximadamente 2,83.
Qual a √ 8?
I → Não é possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos os quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 8 é igual a 4. Qual é a raiz cúbica de 8? Então se você pedir a raiz cúbica de -8, o resultado será -2.
Quanto é √ 64?
Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Como simplificar raiz cúbica de 81? Reescreva 81 como 33⋅3 3 3 ⋅ 3 . Fatore 27 27 de 81 81 . Reescreva 27 27 como 33 3 3 . Retire os termos de dentro do radical.
Entretanto, é possível fazer uma aproximação, como na raiz quadrada de 200: \sqrt{200} = \pm 14, 1421 Valor aproximado. Qual é a raiz quadrada de 21609? potência/raiz = 147.
Veja o passo a passo:
- Pressione a tecla “Alt” sem soltar;
- Com o “Alt” pressionado, pressione os números nessa sequência: 8, 7, 3 e 0;
- Caso não funcione, tente a opção numérica 2, 5 e 1.