A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que: Show A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2. Definição:Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$
a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido). ✅ Curiosidade Como calcular a raiz quadrada?Raiz quadrada exataEm caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir: Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$. Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$. Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos: Exemplo 3: $$√{576}=$$ $$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$ Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto: $$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$ Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja: $$$√{576}=24$$$ Raiz quadrada não-exataNem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5. Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata: 1. Decomposição em fatores primos: $$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$ Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$. Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz. Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$. 2. Tentativa por aproximação: Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação. Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo: $$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$ Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados. Operações com raizes quadradasAdição e subtraçãoAo tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$. Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz: Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$ Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$ Multiplicação e divisãoDiferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si. Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$ Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$ O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$ Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$
Existe um grande número de alunos que utiliza a calculadora para encontrar a raiz quadrada de um número, sem ter noção do que é que representa esse cálculo. A raiz quadrada de um número, não é mais do que, descobrir o número que multiplicado por ele próprio vai ter como resultado o número que se encontra dentro da raiz. Como é que isso pode ser feito sem utilizar a calculadora?Existem várias formas de se chegar ao resultado pretendido sem máquina de calcular, mas penso que a mais fácil consiste em seguir esta sequência de 3 passos:
Primeiro vamos começar por fazer uma estimativa. Quanto mais próxima do resultado final estiver a estimativa, menos são os cálculos que teremos que efetuar. Isto apesar do método também funcionar para estimativas muito más! Por exemplo, pretende-se calcular a raiz quadrada do número `12`. Vamos supor que a minha estimativa é `2` (é uma estimativa terrível, porque sabemos que o resultado certo terá que estar entre `3` e `4`, uma vez que o quadrado de `3` é `9` e o quadrado de `4` é `16`). No segundo passo, vamos dividir o `12` pela nossa estimativa, `12:2=6`. No terceiro passo, vamos calcular a média entre o último resultado e o `2`: `(6+2):2=4`. E agora, vamos repetir os passos 2 e 3 até estarmos satisfeitos com a aproximação conseguida. Passo 2, divisão com a nova estimativa: `12:4=3`. Passo 3, média com o último resultado: `(4+3):2=3,5`. Passo 2, divisão com a nova estimativa: `12:3,5=3,43`. Passo 3, média com o último resultado: `(3,5+3,43):2=3,465`. Poderíamos continuar assim para sempre, mas vamos testar este último resultado: `3,465xx3,465=12,006225`. Já se trata de uma aproximação muito razoável! Podem dar um exemplo de um exercício que envolva o cálculo da raiz quadrada?Claro! Vamos supor que queremos adquirir um terreno com o formato de um quadrado e o vendedor diz-nos que a sua área é de `1156 m^2`. Perguntamos ao vendedor quanto é que mede um dos lados do terreno, mas ele não sabe responder. Tendo em conta que sabemos que a área de um quadrado é calculada fazendo `text(lado) xx text(lado)`, ou seja, `text(lado)^2`. Então, tudo o que temos a fazer é calcular qual é o número que multiplicado por ele próprio vai dar `1156`. Como temos por hábito andar sempre como o telemóvel à mão, basta utilizar a sua calculadora para descobrir que `sqrt(1156)=34`. Em alternativa ao telemóvel podemos sempre utilizar uma folha de papel e caneta e seguir o método descrito anteriormente. Assim sendo, ficamos a saber que cada um dos lados do terreno mede `34m`. Foi interessante? Então partilha!
NUNES, Vitor F. R. "Como calcular uma raiz quadrada sem calculadora?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/calcular-raiz-quadrada.php, acedido em 17 de Julho de 2022.
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