Determinados bens patrimoniais, principalmente objetos de uso contínuo, sofrem desvalorização comercial devido ao uso e desgaste natural ao longo do tempo. Carros, maquinários de indústrias e objetos de escritórios (mesas e aparelhos eletrônicos) são os itens que mais sofrem desvalorização com o passar dos anos. O bom estado de conservação desses objetos influencia na venda futura, condicionando valores acima dos índices percentuais de depreciação. A compra de um objeto usado renderá lucros perante negociações rápidas, em que o comprador, em decorrência de oportunismo, oferece um valor inferior ao preço de mercado. O cálculo da depreciação de um objeto é realizado de acordo com uma taxa percentual de desvalorização anual. A expressão matemática a seguir auxiliará nesse tipo de situação. Veja: Vd = valor depreciado t = tempo decorrido em anos Exemplo 1 O valor de um automóvel novo corresponde a R$ 40.000,00. Considerando que a taxa de depreciação desse automóvel é equivalente a 10% ao ano, qual será seu valor daqui a 8 anos? Depreciação de 10% corresponde a uma taxa unitária de – 0,1. Vd = 40.000 * (1 – 0,1)8 O valor após 8 anos será de R$ 17.218,68 Exemplo 2 Os componentes eletrônicos de um escritório sofrem desvalorização de 2% ao ano. Determine o valor desses componentes após 5 anos de utilização, considerando que o valor pago foi de R$ 100.000,00. Vd = 100.000,00 * (1 – 0,02)5 Após 5 anos de depreciação o valor será de R$ 90.400,00. Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola Matemática Financeira - Matemática - Brasil Escola
DESCONTO CONCEITO A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto. O desconto é dividido em: a) Desconto Racional (por dentro). b) Desconto Comercial (por fora). a) DESCONTO RACIONAL (por dentro). Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil. Dr = VF – VP Onde Dr = Desconto Racional Como VP = VF /(1+i.n) Temos:
b) DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora) Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: D = VF.d.n Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: VP = FV – D Daí vem que: VP = VF – VF.d.n => VP = VF.(1. –.d.n) SITUAÇÃO PROBLEMA: 1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa de 2,5% ao mês? Dados: VF = 2.000,00 n = 90 dias = 3 meses (como a taxa está em mês, devemos transformar o período para essa unidade) d = 2,5% ao mês D=? Solução: D = VF . d . n => D = 2.000,00 . 0,025 . 3 = 150,00 2. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? Dados: VF = 1.000,00 VP = 880,00 n = 120 dias = 4 meses d=? Solução: D = VF – VP = 1.000,00 – 880,00 = 120,00 Isolando a taxa d na fórmula do desconto temos: d = D / (VF . n) => d = 0,03 ou seja, d = 3% ao mês 3. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por fora, por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. Dados: VF = 6.800,00 VP = 6.000,00 d = 3,2% ao mês n =? Solução: D = VF – VP D = 6.800,00 – 6.000,00 = 800,00 Isolando o prazo n na equação D = VF. d. n, temos n = D/(VF.d) substituindo os valores resulta que: n = 3,676 meses, ou seja 110 dias 4. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto por fora de uma duplicata no valor R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês. Dados: VF = 34.000,00 d = 4,7% ao mês n = 41 dia Solução: Como nesse problema a taxa e o prazo não estão na mesma unidade de tempo (a taxa é mensal e o prazo está expresso em número de dias), basta, para compatibilizá-los, dividir um dos dois por 30, como segue: D = VF.d.n D= 34000 . 0,047 . 41/30 D = 2.183,93 Como VP = VF – D, tem-se: VP = 34.000,00 – 2.183,93 = 31.816,07 5. O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata. Dados: VP = 7.608,00 d = 5,2% ao mês n = 138 dias = 138/30 meses VF=? Solução: D = VF . d . n Como nessa equação não ternos valores definidos para duas variáveis, D e VF, é impossível obter-se a solução desse problema somente através dela. Entretanto, como sabemos que D=VF-VP, a substituição desta naquela equação nos permite obter o valor da duplicata, como segue: VF – VP = S.d.n => VP = VF – VF.d.n => VP = VF (1 - d.n) => VF = VP/(1 - d.n) Assim, temos: VF = 10.000,00 6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente àquela operação, de acordo com o critério de juros compostos. Dados: P = 7.608,00 S = 10.000,00 n = 138 dias i= ? A solução pode ser obtida a partir da fórmula do JURO COMPOSTO VF= VP (1+i)n. Como a taxa informada é mensal e o prazo é dado em número de dias, basta dividir este por 30 para expressá-lo em número de meses e assim compatibilizar as duas variáveis. Substituindo na equação do montante, ternos: VF= VP (1 + i)n 10.000 = 7.608 (1 + i)(138/30) (1 + i)(138/30) = 1,06853 1 + i = (1,06853 )(30/138) i = 1,06123 - 1 = 0,06123 ou 6,123% ao mês TAXA IMPLÍCITA Quando o desconto (taxa) é aplicado sob o valor futuro, para com isto obter o valor atual, a uma determinada taxa é X, porém com o valor atual é a taxa X não se obtém o valor futuro inicial. Com isto observamos que existe uma taxa implícita na operação que é maior que a taxa de desconto. i = y% a período (taxa de juro) d = x% a período (taxa de desconto) Devemos aplicar uma taxa y ao valor do título com desconto e chegar ao valor do título, usando capitalização simples. VF=VP.(1+i.n) (a) Temos ainda que o valor do título com desconto é dado por VP=VF (1 – d.n) (b) Isolando VF em (b) e substituindo em (a) temos: VP/(1 – d.n) = VP(1 + i.n) Resultando: i = d/(1 – d.n) Onde: i = taxa efetiva; d = taxa de desconto; n = número de períodos. Situação Problema: 7. Um título que possui uma taxa de desconto de 4% ao mês durante 6 meses. Qual é a taxa real de juro simples? Dados: d = 4% a.m.; n=6 meses Usando a fórmula acima temos: i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6) i = 5,263% ao mês. CÁLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão representadas pelos seguintes símbolos: Dt = valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn N = número de títulos (ou prestações) S = Valor de cada título Pt= valor líquido total dos títulos = N x S - Dt a) Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual, para cada título: Sendo D = S.d.n, tem - se que: D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00 D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00 D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00 D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00 D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00 Logo: Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00 b) Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada. Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever: Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5 Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5) Aplicando-se a fórmula que dá a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA): SPA = (t1 + tn)N / 2 em que t1 representa o prazo do título que vence primeiro, tn o prazo do título que vence por último e N o número de títulos, ternos: Dt = (1.000 . 0,03) . (1+5).5 / 2 (1) Dt= 1.000,00 . 0,03 . 15 = 450,00. O valor líquido creditado na conta do cliente seria: Pt = S . N – Dt Pt = 1.000,00 . 5 - 450,00 = 4.550,00 Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspondente, ternos: Dt = S . d . (t1 + tn) N / 2 ou Dt = S . N . d . (1 + tn)/2 em que a expressão (t1 + tn)/2 representa o prazo médio dos títulos descontados. Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita como segue: Dt = S.N.d.(1 + tn)/2 em que tn, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.) referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos N. É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente. Exemplos: 1. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês. Dados: S = 1.680,00 N = tn = 12 d = 2,5% Pt = ? Solução: Dt = S.N.d.(1 + tn) / 2 Dt = 3.276,00 Pt = S . N - Dt = 20.160,00 - 3.276,00 = 16.884,00 2. Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto. Dados: S = 32.500,00 N = 4 d = 3,45% ao mês t1 = 90 dias = 3 meses tn = 180 dias = 6 meses DT = ? Solução: DT = S.N.d.(t1 + t2) /2 DT = 20.182,50 RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PERÍODO E JURO COMPOSTO. Se um produto é vendido a R$ 100,00 para 63 dias, qual o desconto que o fornecedor pode conceder na venda a vista, se ele pratica uma taxa de juros composto de 5,0% a.m.? Podemos calcular a taxa de desconto igualando as equações VP=VF/(1+i)n da capitalização composta e VP=VF(1 - d.n) do desconto comercial, chegando a: (1) como n = 63/30 =2,1 meses Chegamos que: d = 0,04637 ~ 4,637% a.m. (taxa de desconto) Como o comprador, ao receber a oferta de desconto de 4,637% ao mês na compra a vista poderá calcular a taxa mensal de juro composto praticada pelo fornecedor, no caso acima? Da mesma maneira acima, poderemos chegar à equação para calcular a taxa de juro: (2) donde chegamos que i = 0,05 ou 5% DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Se a um produto no valor de R$ 100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o líquido será de R$ 64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20% o valor liquido será de R$ 80,00, e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$ 80,00, o valor líquido passa a ser de R$ 64,00. A equação do valor líquido no caso do desconto composto poderá ser deduzida a partir do desconto simples. Chega-se a equação VP = VF(1 - d)n (3) onde VP é o valor atual, VF é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n prazo a decorrer até o vencimento. Na prática, porém, dificilmente será constatada a aplicação do desconto composto tal como aqui colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m. de juros na venda a 30 dias, na venda a vista poderia conceder 20% de desconto. Essa relação entre taxa de juros e taxa de desconto já foi descrita anteriormente. Além disso, se esse mesmo fornecedor vendesse a 60 dias, certamente cobraria um acréscimo de 56,25% a.p. de juros. Se fizermos a equivalência de taxa obteremos a taxa de desconto de 36% a.p., que é exatamente o desconto composto aplicado na apuração do valor líquido de R$ 64,00 que resulta o exemplo acima. Notemos também, que se aplicarmos a eq. (1) com as informações acima, obteremos: d = 0,36 ou 36% a.p. Portanto o uso do desconto composto é comum na prática comercial brasileira, porém compõe-se a taxa de desconto para o período antes de informá-la. Como no exemplo aqui demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos sucessivos de 20% a.m. |