Metodo da adição exercicios

Um sistema de equações é um conjunto de equações que possuem no mínimo duas incógnitas diferentes. Nesse sistema, o valor atribuído para cada uma das incógnitas deve satisfazer todas as equações ao mesmo tempo.

Utilizamos esse tipo de sistema em diversas situações do nosso dia a dia, principalmente os sistemas de primeiro grau. Quando dizemos que ele conta com grau 1, estamos afirmando que todas as incógnitas têm expoente 1 e que não existe nenhuma multiplicação entre elas, ou seja, um sistema formado por uma equação do tipo x² – xy – 2y³ não será estudado nesse momento.

Como usar sistemas de equação?

Imagine as seguintes situações:

1) Dois amigos conversam e falam sobre quanto gastaram em uma lanchonete. A garota diz: “Comi 3 pastéis e tomei 2 caldos de cana. Gastei R$11,50”. Seu amigo então responde: “Comi 1 pastel e tomei 1 caldo de cana. Gastei R$4,50”.

Existe alguma maneira de descobrir quanto custa o pastel e quanto custa o caldo de cana?

A resposta para essa questão é sim. Em situações parecidas, usaremos um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Para resolver esse tipo de sistema, utilizamos geralmente dois métodos: o método da adição e o método da substituição. Conheça-os a seguir.

Método da adição

Resolvendo o problema que citamos anteriormente, vamos chamar o preço do pastel de x e o preço do caldo de cana de y.

Se o menino consumiu 1 pastel e um caldo de cana e gastou R$4,50, vamos escrever: x + y = 4,5. De modo análogo, sobre o consumo da menina, iremos escrever: 3x + 2y = 11,5.

Com essas duas equações, iremos então montar o sistema.

Vamos então multiplicar por (-2) a primeira equação, obtendo: -2x –2y = – 9.

Agora, basta somar as equações:

x + y = 4,5

2,5 + y = 4,5

Y = 4,5 – 2,5

Y = 2,0

Sabemos, então, que o pastel custa R$ 2,50 e o caldo de cana R$ 2,00.

Método da substituição

Vamos continuar resolvendo o sistema do exemplo acima, porém agora pelo método da substituição.

O primeiro passo é isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas equações. Geralmente, fazemos isso na equação que possui os menores coeficientes acompanhando as incógnitas, para facilitar os cálculos. Ou seja, faremos isso da seguinte maneira:

X + y = 4,5.

Y = 4,5  –  x [isolando y]

Agora, vamos trabalhar com a segunda equação. Substituiremos o valor de y nela por (4,5 – x). Assim, teremos apenas uma incógnita (que no caso é x) e já sabemos como encontrar os valores de equações com apenas 1 incógnita.

3x + 2y = 11,5

3x + 2.(4,5 – x) = 11,5

3x + 9 – 2x = 11,5

X = 11,5 – 9

X = 2,5

Agora, para descobrir o valor de y, basta substitui-lo na equação que usamos anteriormente:

X + y = 4,5

2,5 + y = 4,5

Y = 2.

Ou seja, para fazer esse método, vamos trabalhar com duas equações: equação (I) e a equação (II). Vamos isolar uma das incógnitas. Nesse caso, escrevemos y em função de x na equação (II). Esse valor substitui y na equação (I), de modo que fique apenas a incógnita x.

Exercícios resolvidos

1) Leia o enigma proposto em um programa de rádio:

“Nós dois juntos temos 35 maçãs. Você tem 2/5 do que eu tenho. Quantas maças eu tenho?”

Você pode usar outros recursos para resolver esse problema, porém, tente resolve-lo usando um sistema de equações.

RESPOSTA

Chamando de x a quantidade de maçãs que eu tenho e chamando de y a quantidade de maçãs que você tem, vamos montar as equações:

X + Y = 35 (I)

Y = 2/5 . X (II)

X + Y = 35

X + (2/5.X) = 35

X + 0,4X = 35

1,4X = 35

X = 35/1,4

X = 25

Portanto, eu tenho 25 maçãs.

X + Y = 35

25 + Y = 35

Y = 35 – 25

Y = 10.

Portanto, você tem 10 maçãs.

De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar, portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra v os jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time, multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos:

3 · v + 1 · e = 24
3 · v + e = 24

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita e na primeira equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos:

3 · v + e = 24
3 · v + 14 – v = 24
3 · v – v = 24 – 14
2 · v = 10
v = 10
     2
v = 5

Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos:

e = 14 – v
e = 14 – 5
e = 9

O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4. A alternativa correta é a letra d.

Consideramos um sistema de equações quando vamos resolver problemas que envolvem quantidades numéricas e que, geralmente, recorremos ao uso de equações para representar tais situações. Na maioria dos problemas reais, devemos considerar mais de uma equação simultaneamente, o que depende, dessa forma, da elaboração de sistemas.

Problemas, como a modelagem de tráfego, podem ser solucionados utilizando sistemas lineares, para isso, devemos entender os elementos de um sistema linear, quais métodos utilizar e como determinar sua solução.

Equações

Nosso estudo será em volta de sistemas de equações lineares, então, vamos entender primeiramente o que é uma equação linear.

Uma equação será dita linear quando puder ser escrita dessa forma:

a1 ·x1 + a2 ·x2 + a3 ·x3 +...+ an ·xn = k

Em que (a1, a2, a3, ..., an) são os coeficientes da equação, (x1, x2, x3, ..., xn) são as incógnitas e devem ser lineares e k é o termo independente.

• -2x + 1 = -8 ® Equação linear com uma incógnita
• 5p + 2r =5 ® Equação linear com duas incógnitas
• 9x – y - z = 0 ® Equação linear com três incógnitas
• 8ab +c – d = -9 ® Equação não linear

Saiba mais: Diferenças entre função e equação

Como calcular um sistema de equações?

A solução de um sistema linear é todo conjunto ordenado e finito que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema. A quantidade de elementos do conjunto solução sempre é igual ao número de incógnitas do sistema.

Considere o sistema:

O par ordenado (6; -2) satisfaz ambas equações, assim, ele é solução do sistema. O conjunto formado pelas soluções do sistema é chamado de conjunto solução. Do exemplo acima, temos:

S = {( 6; -2)}

A forma de escrever com chaves e parênteses indica um conjunto solução (sempre entre chaves) formado por um par ordenado (sempre entre parênteses).

Observação: Se dois ou mais sistemas possuem o mesmo conjunto solução, esses sistemas são chamados de sistemas equivalentes.

Método da substituição

O método da substituição resume-se em seguir três passos. Para isso, considere o sistema

O primeiro passo consiste em escolher uma das equações (a mais fácil) e isolar uma das incógnitas (a mais fácil). Assim,

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

No segundo passo, basta substituir, na equação não escolhida, a incógnita isolada no primeiro passo. Logo,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = - 5

-21 +6y + 2y =-5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

O terceiro passo, consiste em substituir o valor encontrado no segundo passo em qualquer uma das equações. Assim,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}.

Método da adição

Para realizar o método da adição, devemos lembrar que os coeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos, ou seja, ter números iguais com sinais contrários. Vamos considerar o mesmo sistema do método da substituição.

Veja que os coeficientes da incógnita y atendem nossa condição, assim, basta somar cada uma das colunas do sistema, obtendo a equação:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

E substituindo o valor de x em qualquer uma das equações temos:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}

Leia também: Resolução de problemas por sistemas de equação

Classificação dos sistemas lineares

Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções. Um sistema linear pode ser classificado em possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

→ Sistema é possível e determinado (SPD): solução única

→ Sistema possível e indeterminado (SPI): mais de uma solução

→ Sistema impossível: não admite solução

Veja o esquema:

Exercício resolvido

Questão 1 – (Vunesp) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais é:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Solução

Vamos atribuir a incógnita x ao preço de cada lapiseira, y ao preço de cada caderno e z ao preço de cada caneta. Do enunciado, temos que:

Multiplicando a equação de cima por -2 teremos que:

Somando termo a termo, teremos que:

y = 10

Substituindo o valor de y encontrado na primeira equação, teremos que:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z  = 33

x + z = 3

Portanto, o preço de uma lapiseira de um caderno e uma caneta é:

x + y + z = 13 reais.

Alternativa C

Por Robson Luiz
Professor de Matemática