A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado. Show O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los? Tentativa e erroAlgumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo: Qual a raiz quadrada de v196? Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo: 11 * 11 = 121 12 * 12 = 144 13 * 13 = 169 14 * 14 = 196 É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros. Cálculo por fatoraçãoA fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração: Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja: Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja: Veja outro exemplo com v1225: Desmembrando o número temos: Raiz quadrada não exataQuando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo: 7,1 * 7,1 = 50,41 7,2 * 7,2 = 51,84 7,3 * 7,3 = 53,29 7,4 * 7,4 = 54,76 O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54. Veja outro exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas: 14,1 * 14,1 = 198,81 14,2 * 14,2 = 201,64 14,3 * 14,3 = 204,49 14,4 * 14,4 = 207,36 14,5 * 14,5 = 210,25 14,6 * 14,6 = 213,16 14,7 * 14,7 = 216,09 14,8 * 14,8 = 219,04 Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja: 14,71 * 14,71 = 216,38 14,72 * 14, 72 = 216,67 14,73 * 14,73 = 216,97 14,74 * 14,74 = 217,26 14,75 * 14,75 = 217,56 14,76 * 14,76 = 217,85 14,77 * 14,77 = 218,15 Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76. O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular. Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões: Como calcular probabilidades? Como calcular porcentagem de forma fácil? Como calcular seno, cosseno e tangente? Conheça o Coach COC e organize seus estudos!O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo! Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas. Calculando raízes Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira: *n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a. L·L·L·L...L·L = a Raízes exatas e não exatas Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9 b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8 c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16 Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas: a) Raiz quadrada de 2 b) Raiz cúbica de 3 c) Raiz quarta de 5 Cálculo de raízes não exatas Caso 1 – Radicando primo Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31: Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois: 3,143 = 30,959144 Caso 2 – Radicando não primo Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz. Exemplo: Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule: Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256: 256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2 1 256 = 23·23·22 Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe: Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado: Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira: Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação. 4·1,26·1,26 = 6,35 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito. Leia também: Propriedades envolvendo números complexos Definição e nomenclatura dos elementos da radiciaçãoSejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então: a = radicando n = índice √ = radical As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois. Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n. Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação: A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical. Exemplos: √36 = 6, pois 62 = 36 √121 = 11, pois 112 = 121 Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas. Observações:1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Exemplo: √ — 36 = ? Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível. 2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois. Exemplo: Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441. √441 Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos: 441 = 32 . 72 Assim, √441 = √32 . 72 Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que: √441 = 3 . 7 = 21 O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441. Mapa Mental: Raiz Quadrada*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui! Interpretação geométrica da raiz quadradaImagine um terreno com área de 144 m2. Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área. Aquadrado = l2 A representa o valor da área, e l é o valor do lado. Como a área vale 144 m2, temos que: 144= l2 Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então: √144 = 12 O número 144 na forma fatorada é: 144 = 22 . 22 . 32 Assim, vamos ter que: √144 = √22 . 22 . 32 Por fim, √144 = 2 . 2 . 3 = 12 Portanto, o lado do terreno mede 12 m. Exercícios resolvidos1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100. Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 2. Determine a raiz quadrada do número 1024. √1024 Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos: 1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22 Então, Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas. *Mapa Mental por Luiz Paulo Silva Por Robson Luiz |