Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna
. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
. Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
) na região direita superior.
2
Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
. Como se sabe que
, é possível afirmar que
, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
(quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
.
4
Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.
No exemplo, o próximo par à disposição é
. basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
. Escreva no canto direito inferior, seguido por
.
5
Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
No exemplo, preencher os espaços em branco com
dá como resultado:
. Esse é um valor maior que
. Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
. Confirma-se que ele atende à necessidade porque
, então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
6
Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
No exemplo,
será subtraído de , resultando em
.
7
Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.
No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
), obtém-se
— escreva
no quadrante direito inferior.
8
Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
No exemplo,
, que é menor ou igual ao número à esquerda (
). Observando-se que
, que é alto demais, você chega à conclusão de que
é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
.
9
Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
, onde
representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
como sendo a segunda,
como sendo a terceira e assim por diante.
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
ao segundo par de casas decimais e assim por diante.
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,
e
, de modo que
.
Em um exemplo, se você quisesse dividir
por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
de modo que
. Nesse caso, seria igual a
.
6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimais
e assim por diante.
No exemplo,
. Lembre-se de que
representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
e
como exemplo, resultará no número
. Se
representa a área do quadrado,
representa a área do maior quadrado interno,
representa a área do menor quadrado interno e
representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
obtido no Passo 4 (
no exemplo supracitado). Aqui,
(área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
. Por fim, você restará com
.
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
(sendo
) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .
10
Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).
11
Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obter
à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
(equivalente a escrever duas vezes o valor
com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.
