A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.
Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.
Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?
Representação de uma radiciação
Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:
√ → radical
a→ radicando
b→ raiz
n→ índice
Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.
Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.
Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:
estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.
Exemplos:
Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?
Propriedades da radiciação
As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.
A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.
A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.
A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.
Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.
Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.
A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.
A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:
Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?
Simplificação de radicais
Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.
Exemplo:
Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.
Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.
360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180; 90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;
45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;
15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15;
5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5.
1|
Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:
360= 2² · 2 · 3² · 5
Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:
Operações com radicais
A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:
√2 + √3 ≠ √5
Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:
√2 + √2 = 2√2
Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.
Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:
√72 - √50
Sabemos que
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
72 = 2² · 2 · 3²
e também podemos reescrever o 40 como:
50 = 2 · 5 · 5
50 = 2 · 5²
Então teremos:
Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.
Exemplo:
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:
Resolução
Alternativa B.
Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.
a) → 2ª propriedade
b) → Não é uma propriedade da radiciação.
c) → 5ª propriedade
d) → 1ª propriedade
Questão 2 - (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:
Resolução
Alternativa C.
Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
-
√: radical.
-
n: índice.
-
a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)
Exemplo 2:
\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)
Exemplo 3:
\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \(\sqrt{392}\):
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)
Assim, temos que:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)
Então, temos que:
\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)
Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\(5\sqrt3-2\sqrt2\)
\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)
\(8,5-2,8\)
\(5,7\)
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)
Para igualar os índices, temos que:
\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)
\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)
\(\sqrt[6]{256∶8}\)
\(\sqrt[6]{32}\)
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A) 50
B) \( 6\sqrt[3]{10}\)
C) \( 10\sqrt[3]{6}\)
D) 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)
Logo:
\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A) 26
B) 24
C) 16
D) 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).
Portanto:
\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)
\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)
\(\sqrt[3]{4096}=16\)