A área de um sólido geométrico é um número real que está relacionado com a medida da superfície mais externa desse objeto, isto é, com a sua “casca”. Já o volume é um número real que diz respeito à medida da capacidade de um sólido geométrico, ou seja, ao que cabe dentro do sólido. Veja agora como calcular a área e o volume do cubo.
Área do cubo
Para calcular a área do cubo, devemos apenas elevar a medida de uma de suas arestas ao quadrado e multiplicar o resultado por seis. Matematicamente:
AC = 6l2
Exemplo: Qual é a área de um cubo cujas arestas medem 15 cm?
AC = 6l2
AC = 6·152
AC = 6·225
AC = 1350 cm2
Vale ressaltar que o valor da aresta não é fornecido em todos os problemas. Para calcular a área do cubo sem essa medida, é interessante conhecer também o cálculo da área do prisma.
Área do prisma e área do cubo
O cubo é um sólido geométrico pertencente ao conjunto dos prismas. Sendo assim, os fundamentos para o cálculo da área do cubo são os mesmos para o cálculo da área dos prismas: somar as áreas das duas bases e as áreas das faces laterais. Na figura a seguir, veja um esquema que mostra as duas bases e as quatro faces laterais de um cubo.
A área de um prisma é obtida a partir da fórmula:
AP = AB + AL
AB é a soma das áreas das duas bases, e AL é a soma das áreas das quatro faces laterais. A fórmula acima pode ser escrita da seguinte maneira:
AP = Ab + Ab + Al + Al +Al +Al
AP = 2Ab + 4Al
Para concluir a fórmula para a área do cubo, basta notar que Ab e Al são áreas de quadrados congruentes. Considere que o lado mede l, a fórmula para a área do cubo é a seguinte:
AC = 2l2 + 4l2
AC = 6l2
Volume do cubo
Para determinar o volume do cubo, basta elevar a medida de sua aresta ao cubo. Matematicamente:
VC = l3
A base de um cubo é um quadrado, por isso, tanto suas dimensões quanto sua altura possuem a mesma medida. Considere que a aresta do cubo mede l, então:
A = AB·h
A = l2·l
A = l3
Exemplo:
A área de uma das faces de um cubo mede 25 cm2. Calcule o volume desse cubo.
É necessário descobrir a medida da aresta desse cubo. Para tanto, pense que a área da base de um cubo é igual à área de um quadrado. Para descobrir a aresta do cubo, basta descobrir a medida do lado desse quadrado. Observe:
A = l2
25 = l2
l = √25
l = 5
O volume desse cubo é:
V = l3
V = 53
V = 125 cm3
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Cubo é o nome popular dado ao hexaedro regular: um sólido geométrico classificado como poliedro cujas faces são todas quadradas. O cálculo da área dos poliedros e, por consequência, do cubo é feito pela soma das áreas de cada uma de suas faces. Entretanto, há uma fórmula que relaciona a medida da aresta do cubo com a sua área.
Área das bases do cubo
Na figura a seguir, à esquerda, há um cubo com as bases na cor rosa e, à direita, uma planificação do cubo que permite compreender o número de bases e de faces laterais (as bases também estão na cor rosa).
Considerando que esse cubo possui aresta de medida l, a área da base superior é determinada por:
Ab = l2
A área da base inferior é determinada pela mesma expressão, pois todas as faces de um cubo são quadrados iguais.
Ab = l2
A área das bases do cubo é a soma das áreas de cada base. Logo, é calculada pela expressão:
AB = Ab + Ab
AB = l2 + l2
AB = 2·l2
Área lateral do cubo
A área lateral do cubo é composta pelas áreas dos outros quatro quadrados que não são bases desse cubo. Logo, a soma dessas áreas tem como resultado o que chamamos de área lateral do cubo.
O cálculo da área lateral do cubo é feito pela soma das áreas dos quadrados que a formam. Cada quadrado possui a área determinada pela expressão a seguir, lembrando que a aresta desse cubo mede l.
Aq = l2
Dessa maneira, a área lateral (AL) do cubo é calculada pela soma das áreas das quatro faces que a compõem:
AL = Aq +Aq +Aq +Aq
AL = l2 +l2 +l2 +l2
AL = 4·l2
Área do cubo
Tendo em mãos esses resultados, a área do cubo pode ser facilmente calculada pela soma da área da base e da área lateral. Dessa maneira, a área do cubo é:
A = AB + AL
A = 2·l2 + 4·l2
A = 6·l2
Exemplo:
Uma das encomendas de uma empresa pedia 16 dados vermelhos para um grupo de amigos experimentarem jogos novos. Por dado, a empresa já cobrava R$ 1,10, mas a tinta usada para pintá-los de vermelho era cobrada à parte: R$ 0,55 por centímetro quadrado. Sabendo que a aresta desses dados mede 2 cm, quanto o grupo de amigos pagará pelos 16 dados?
Para resolver esse problema, encontre a área de um dos dados, que é um cubo, e, depois, multiplique esse resultado por 16 para encontrar a área dos 16 dados. Em seguida, multiplique esse resultado pelo valor, por centímetro quadrado, da tinta.
A = 6·l2
A = 6·22
A = 6·4
A = 24 cm2
Essa é a área de apenas um dado. A área de todos eles será:
24·16 = 384 cm2
O valor pago pelo grupo de amigos será:
384·0,55 + 16·1,10 =
211,2 + 17,6 = 228,8
R$ 228,80
A área é a medida da superfície de uma figura ou sólido geométrico. O seu cálculo é feito por meio de algumas fórmulas simples, mas diferentes para cada sólido ou figura geométrica. Desse modo, existe uma expressão matemática específica para o cálculo da área do cubo.
Imagem de um cubo ou hexaedro regular
O cubo é um poliedro regular que possui seis faces quadradas. Dessa maneira, todas as arestas do cubo são congruentes.
Quando se trata de sólidos geométricos, existem algumas possibilidades de cálculo de área: área da base, área lateral e área total. Geralmente, a área total é a soma das áreas das bases e a área lateral.
Área da base
Os cubos são poliedros classificados como prismas. Esses poliedros possuem duas bases congruentes. Desse modo, sabendo que todas as bases do cubo são quadrados, podemos afirmar que as suas duas bases são quadrados congruentes e, por isso, possuem a mesma área.
A fórmula para calcular a área de uma das bases do cubo é a mesma usada para a área do quadrado:
Ab = l2
“l” é o lado do quadrado ou a aresta do cubo.
Área lateral
A área lateral de um prisma é dada pela soma das áreas das faces laterais (face lateral é qualquer face que não é base). Para facilitar a visualização, observe a planificação do cubo da imagem anterior na imagem seguinte:
Note que as bases foram colocadas lateralmente, e as quatro faces laterais ficaram na coluna central. Observe também que as faces laterais de um cubo também são quadrados congruentes às bases. Dessa maneira, tendo em vista que as arestas desse poliedro medem l, a fórmula para calcular uma face lateral é a seguinte:
Afl = l2
A área lateral será a área de uma face lateral multiplicada por quatro:
Al = 4·l2
Isso é o mesmo que somar as quatro faces laterais do cubo.
Área total
A área total de um prisma é dada pela soma das áreas laterais e das bases. Como o cubo possui duas bases, para calcular sua área total, devemos proceder conforme a seguinte expressão:
At = Al + Ab + Ab
E isso é equivalente a:
At = Al + 2·Ab
Tendo em vista que todas as áreas laterais e das bases de um cubo são iguais e escrevendo a fórmula acima e a função da área da base, podemos afirmar que a área de um cubo é:
A = 6·Ab
Exemplos
1º) Um artista plástico foi convidado a pintar uma escultura na forma de dado que seria doada posteriormente para uma cidade A. Essa escultura possui formato de cubo e aresta com 2 m. A face 1 desse cubo deve ficar voltada para o chão, fazendo com ele um ângulo de 15° e estando suspensa a 2,5 m de altura. Essa face deve ser pintada de vermelho, assim como a oposta a ela. As outras devem ser pintadas em azul.
a) Supondo que uma lata pequena de tinta seja suficiente para pintar 2 m2 do cubo, quantas dessas latas serão usadas para pintar a sua parte vermelha?
Solução: Podemos tomar a parte vermelha do cubo como suas bases. Para calcular a área delas, podemos usar a fórmula:
Ab = l2
Substituindo o valor da aresta, teremos:
Ab = 22
Ab = 4
Desse modo, uma das bases mede 4 m2. As duas juntas, portanto, medem 8 m2. Para pintá-las, serão usadas quatro latas de tinta.
b) Supondo que uma lata pequena de tinta seja suficiente para pintar 2 m2 do cubo, quantas dessas latas serão usadas para pintar a sua parte azul?
Solução: A área em azul representa a área lateral do cubo e pode ser calculada da seguinte maneira:
Al = 4·l2
Al = 4·22
Al = 4·4
Al = 16
O cubo possui 16 m2 de área lateral e, portanto, serão usadas oito latas de tinta para pintá-la.
c) Qual é a área total do cubo?
Solução: Basta utilizar a fórmula dada anteriormente para calcular a área do cubo.
A = 6·Ab
A = 6·4
A = 24 m2