O triângulo retângulo recebe esse nome porque um de seus ângulos possui a medida de 90º, ou seja, é um ângulo reto. Sendo um dos polígonos mais estudados na geometria plana, foi possível perceber algumas relações entre os ângulos e também entre os lados dessa figura. Show O teorema de Pitágoras, por exemplo, foi desenvolvido depois da percepção de que existe uma relação entre as medidas dos lados do triângulo. Assim, conhecendo as medidas de dois lados do triângulo, é possível calcular o valor do terceiro lado. O teorema de Pitágoras diz que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa. Além do teorema de Pitágoras, outra área importante desenvolvida por meio dos estudos desse triângulo foi a trigonometria, em que são desenvolvidas as razões entre os lados do triângulo, conhecidas como seno, cosseno e tangente. Por intermédio dessas razões, percebeu-se que existe uma proporção entre as medidas dos lados de triângulos retângulos que possuem ângulos iguais. Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo? Características do triângulo retângulo O triângulo retângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos, e um desses ângulos é reto, ou seja, possui 90º. Os outros dois ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º. O maior lado, que fica sempre oposto ao ângulo de 90º, é conhecido como hipotenusa, e os outros dois são chamados de catetos. O triângulo retângulo preserva todas as propriedades já conhecidas do triângulo comum, como o fato de a soma dos ângulos internos ser igual a 180º. Como a soma é sempre 180º e um dos seus ângulos já possui 90º, podemos afirmar que os outros dois ângulos são sempre complementares, ou seja, a soma deles também é igual a 90º. a e b → catetos c → hipotenusa Perímetro do triângulo retânguloO perímetro de um polígono qualquer é o comprimento da soma de todos os seus lados. Então, para calcular o perímetro do triângulo retângulo, bastar somar os seus lados. P = a + b + c A área do triângulo retângulo, assim como de um triângulo qualquer, é a metade do produto entre a base e a altura. O que o triângulo retângulo tem de especial é que um de seus catetos coincide com a sua altura, já que eles são perpendiculares entre si, então, para calcular a área, multiplicamos os catetos e dividimos o resultado por dois. Exemplo: Calcule o perímetro e área do triângulo retângulo a seguir sabendo que seus lados foram dados em centímetros. P = 8 + 15 + 17 P = 40 cm Agora vamos calcular a área: Veja também: Calculando a área de um triângulo utilizando os ângulos Teorema de PitágorasO teorema mais conhecido na Matemática é, sem dúvidas, o teorema de Pitágoras. A partir desse teorema, foi possível perceber que os lados de um triângulo retângulo se relacionam da seguinte maneira: dado um triângulo retângulo qualquer, a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. a² + b² = c² a e b → catetos c → hipotenusa A partir desse teorema, é possível descobrir o valor de qualquer um dos lados de um triângulo retângulo, desde que se conheçam os outros dois. Exemplo: Qual o valor da hipotenusa do triângulo retângulo abaixo sabendo que suas medidas são dadas em centímetro? Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: 6² + 8² = x ² 36 + 64 = x² 100 = x² x² = 100 x= √100 x = 10 cm Para saber mais sobre essa importante relação, leia o texto: Teorema de Pitágoras. Trigonometria no triângulo retânguloO nome trigonometria já remete ao seu objeto de estudo:
Sendo assim, a trigonometria é a área da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos ângulos do triângulo e aqui vamos nos ater ao triângulo retângulo. A trigonometria estuda a razão entre os lados do triângulo de acordo com o seu ângulo. Com isso, foi possível desenvolver conceitos importantes, que são as razões seno, cosseno e tangente. Vale dizer que outras razões trigonométricas foram desenvolvidas com o aprofundamento do estudo da trigonometria no círculo trigonométrico. Antes de compreender o que é cada uma dessas razões, é importante entender o que é um cateto oposto e o que é um cateto adjacente a um ângulo de um triângulo. Como vimos, a hipotenusa é o lado representado pelo segmento AB, pois ela é sempre o maior lado do triângulo e também o lado que fica de frente ao ângulo de 90º. Os outros lados são conhecidos como catetos. Dependendo do ângulo que tomamos como referência, o cateto pode ser oposto ou adjacente. O cateto é conhecido como oposto quando ele fica de frente ao ângulo. O cateto que está oposto ao ângulo ꞵ, por exemplo, é o lado AC; por outro lado, o cateto que está oposto ao ângulo ɑ é o lado BC. O cateto é conhecido como adjacente quando ele forma o ângulo junto à hipotenusa. Note que o ângulo ꞵ está entre o lado BC e AB. Como AB é hipotenusa do triângulo retângulo, então o AB é um cateto adjacente ao ângulo ꞵ. Empregando o mesmo raciocínio, é possível perceber que o lado AC é o cateto adjacente do ângulo ɑ. Entendendo cada um dos lados do triângulo, é possível compreender as razões trigonométricas. Para aplicar as razões trigonométricas, devemos conhecer os ângulos notáveis, isto é, os ângulos de 30º, 45º e 60º. A maioria dos problemas de provas e vestibulares está ligada a esses ângulos, sendo necessário, portanto, conhecer os valores das razões de cada um deles. Veja a tabela com o valor do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis: Sabendo o valor das razões trigonométricas do triângulo, por meio de um lado e um ângulo, é possível encontrar todos os lados de um triângulo retângulo a partir da trigonometria. Exemplo: Encontre o valor de x. Para encontrar o valor de x, vamos analisar o ângulo que foi dado. Note que ele é adjacente ao lado de que conhecemos a medida, ou seja, AC é cateto adjacente ao ângulo de 30º. Então, aplicaremos a razão tangente, que relaciona o cateto adjacente e a hipotenusa. Além disso, ao conferir a tabela, sabemos que cosseno de 30º é igual a √3/2. Acesse também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica Exercícios resolvidosQuestão 1 – (IFG) Teodolito é um instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, utilizado em trabalhos de construção. Uma empresa foi contratada para pintar um edifício de quatro andares. Para descobrir a área total a ser pintada, ela precisa descobrir a altura do edifício. Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 metros de altura, encontrando um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Supondo que o teodolito esteja distante13√3 metros do edifício, qual a altura, em metros, do prédio a ser pintado? A) 11,65 B) 12,65 C) 13,65 D) 14,65 E) 15,65 Resolução Alternativa D. Como queremos encontrar o cateto oposto ao ângulo de 30º, sabendo que a distância 13√3, que é a distância do teodolito até o prédio, é o cateto adjacente ao ângulo de 30°, então usaremos a tangente: Agora somaremos 13 + 1,65 = 14,65 metros de altura. Questão 2 – Para realizar um plantio em sua propriedade, um fazendeiro dividiu seu terreno cultivável no formato retangular ao meio, em sua diagonal, formando dois triângulos retângulos. Nessa divisão, metade do terreno será cercado com arame, sendo utilizados 4 fios. Sabendo que as dimensões do terreno é de 20 metros de largura e 21 metros de comprimento, qual será a metragem gasta em fio? A) 29 metros B) 70 metros C) 140 metros D) 210 metros E) 280 metros Resolução Alternativa E. Primeiro vamos encontrar a diagonal do terreno, que é a hipotenusa do triângulo retângulo. Para facilitar, faremos a imagem da situação: Então, temos que: d² = 20² + 21² d² = 400 + 441 d² = 841 d = √841 d=29 Para dar uma volta, temos que 29 + 20 + 21 = 70 metros, como serão 4 voltas, 70 · 4 = 280 metros. Por Raul Rodrigues de Oliveira A área de uma figura plana é a medida da superfície da figura. Para calcular a área de uma figura plana, utilizamos uma fórmula específica que depende do formato da figura. As principais figuras planas são o triângulo, o círculo, o quadrado, o retângulo, o losango e o trapézio, e cada um deles possui uma fórmula para o cálculo da área. Vale ressaltar que a área é estudada na geometria plana, a geometria para objetos bidimensionais. Objetos geométricos que possuem três dimensões são estudados na geometria espacial. Leia também: Quais as diferenças entre figuras planas e espaciais? Resumo sobre área de figuras planas
Para entender a fórmula da área de cada figura plana, é importante estar a par das principais figuras planas. São elas o triângulo, o quadrado, o retângulo, o losango, o trapézio e o círculo. O triângulo é o polígono mais simples que conhecemos, pois é formado por três lados e três ângulos: O triângulo é o polígono mais simples, por ser o polígono com menor número de lados. No entanto, devido à sua ampla aplicação em situações cotidianas da geometria, ele é muito estudado. Veja também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo? O quadrado é um quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados, que possui todos os ângulos retos e todos os lados congruentes. O quadrado é um quadrilátero regular que possui lados e ângulos congruentes. Conhecemos como retângulo o quadrilátero que possui todos os ângulos retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90º. O quadrado é um caso particular de retângulo, pois, além dos ângulos de 90º, ele possui também os lados congruentes. Para ser retângulo, basta ser um quadrilátero que possui todos os ângulos retos. O losango é um quadrilátero que possui todos os lados congruentes, ou seja, todos os lados têm a mesma medida. O quadrado é um caso particular de losango, pois ele também possui todos os lados congruentes. Um elemento muito importante no losango é a sua diagonal. O trapézio é um outro caso particular de quadrilátero. Para ser considerado um trapézio, o quadrilátero precisa ter dois lados paralelos e dois lados não paralelos. Veja também: Quais são os elementos de um polígono? O círculo, diferentemente de todas as figuras apresentadas anteriormente, não é um polígono, por não possuir lados. O círculo é a figura plana formada por todos os pontos que estão equidistante do centro. Fórmulas de área de figuras planasCada figura plana possui uma fórmula específica para o cálculo da sua área, vejamos quais são. Dado um triângulo, é necessário conhecer a medida da sua base e de sua altura para calcular a área: b→ base h → altura Exemplo: Calcule a área de um triângulo que tem base medindo 10 cm e altura igual a 8 cm. Temos que: b = 10 h = 8 Substituindo na fórmula, temos que: Em um quadrado qualquer, para calcular a sua área, é necessário conhecer a medida de um dos seus lados: A = l² l → lado do quadrado Exemplo: Qual é a área de um quadrado que possui lados com 5 cm de comprimento? A = l² A = 5² A = 25 cm² Em um retângulo, é necessário conhecer o comprimento da sua base e da sua altura: A = b · h b → base h → altura Exemplo: Calcule a área de um retângulo que possui lados medindo 6 metros e 4 metros Independentemente do que definirmos como base ou altura, o resultado será o mesmo, então, faremos: b = 6 h = 4 Desse modo, a área do retângulo é: A = b · h A = 6 · 4 A = 24 m² Diferentemente dos anteriores, para calcular a área do losango, é necessário conhecer a medida das suas duas diagonais: D → diagonal maior d → diagonal menor Exemplo: Calcule a área de um losango que possui diagonais medindo 16 cm e 12 cm. Temos que: D = 16 d = 12 Calculando a área, temos que: Como o trapézio possui duas bases, uma maior e uma menor, para calcular a sua área, necessitamos do comprimento das suas bases e da sua altura: B → Base maior b → base menor h → altura Exemplo: Um trapézio possui base maior medindo 10 cm, base menor medindo 6 cm, e altura igual a 8 cm, então, a sua área é de: Dados: B = 10 b = 6 h = 8 Substituindo na fórmula, temos que: Em um círculo, para calcular a sua área, precisamos somente do comprimento do raio, em alguns casos, utilizamos uma aproximação para o valor de π de acordo com a quantidade de casas decimais que queremos considerar. A = πr² r → raio Exemplo: Calcule a área do círculo que possui raio medindo 4 m. A = πr² A = π · 4² A = 16π m² Leia também: Planificação de sólidos geométricos – representação bidimensional dos sólidos Exercícios resolvidos sobre a área de figuras planasQuestão 1 - Qual é a área de um losango que possui diagonal menor medindo 5 centímetros, sabendo que a diagonal maior é o triplo da diagonal maior: A) 35 cm² B) 37,5 cm² C) 75 cm² D) 70 cm² E) 45 cm² Resolução Alternativa B d → comprimento da diagonal menor D → comprimento da diagonal maior Sabendo que a diagonal menor mede 5 cm e que a diagonal maior mede o triplo da menor, então, temos que: d = 5 e D = 5 · 3 = 15 Agora calculando a área, temos que: Questão 2 - (IFG 2012) Em um retângulo, a razão entre a medida da altura e a medida da base é de 2/5, e o perímetro desse retângulo mede 42 cm. A área desse retângulo em cm² é igual a: A) 88 B) 90 C) 91 D) 94 E) 96 Resolução Alternativa B Seja 2x a altura e 5x a base, temos que: P = 2 (2x + 5x) = 42 4x + 10x = 42 14x = 42 x = 42/14 x = 3 Então, os lados medem: 2x = 2 · 3 = 6 5x = 5 · 3 = 15 Agora, basta calcular a sua área: A = 6 · 15 = 90 Por Raul Rodrigues de Oliveira Professor de Matemática |
Calcule a área da figura abaixo, sabendo que todos os ângulos são retos 90 image
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